第二节 第七章 数量积向量积混合积 一、 两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积 OOo⊙O8
*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章
一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=F‖cos0 1.定义 设向量d,b的夹角为0，称 S M2 记作 ab W=F.3 为a与b的数量积（点积） Oao⊙@8
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当a≠0时，b在a上的投影为 16cos0记作Pri,6 故 ab=a Prja b 同理，当b≠0时， a.b=bPrjpa 2.性质 a≠0，b≠0 (l)）aa=a2 则a.b=0 (2),b为两个非零向量，则有 π ab=0=d⊥b (a,i= 2 Ooo⊙⊙8
b 在a上的投影为 记作 故 同理,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 b Prja b a b = a Prja b (1) a a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0, b 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.运算律 (I)交换律ab=ba (2) 结合律（几，u为实数） (2)b=a:(=(d.b) (a+) (a)(ub)=(a.(ub) =u(a.b) Prje a Prjab (3)分配律(d+b)d=d,c+b Prjc(@+b) 事实上，当c=可时，显然成立，当c≠0时 (@+b).c=cPrjc(a+b)=c|(Prje@+Prjeb) =GPrjca+c Prjcb=a.c+b.c Oao⊙⊙☒
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) = ( a ( b)) = (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c (a + b) b a a Prj c b c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj = c Prj c a + c Prj c b = a c + b c Prj (a b) c + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明三角形余弦定理 c2 a2 +b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b B c2=(a-(a-b)=dd+6.6-2ab =a2+62-2a6cos0 a=a,b=bl.c=7 c2 =a2 +b2-2abcos0 Ooo⊙⊙8
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a −b)(a −b)= a a + bb − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束