$1.5复变函数.25即limu(r.y)- u..limu(r.)=wo.y+yn-充分性：当上面两式成立，即当0V（)"+（y一y）<8时，就有uuo<于是便有当0时，22If()A/- I(u-u)-i()llu—+ul<,即limf(z)=A关于含x的极限可作如下定义：limf(1=u limf(z)_a（α为有限复数）；1lim= 0位 limf() - 80;f(&)30lim0 limf(z)=x. →0f(1)定义 1. 2如果limf（）=f(。成立，则称f（z）在处连续.如果f（）在区域D中每一点连续，则称(z）在D内连续三在之=0有无极限？例1.15问函数f&）=解（）的定义域是全平面除去=0的区域.当&≠0时，设z=r(cos0+isin0)则f(z) = cos(- 29)+isin(— 28),考虑从2一0出发方向角为%的射线le，我们有lim f(z)= cos(- 20)+i sin( 20u)e显然，对于不同的9，上述极限不相同.所以在=0，f（）不存在极限例1.16求证：f（）二arg（z≠0)在全平面除去原点和负实轴的区城上连续，在负实轴上不连续，证、设2。为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点，考虑充
第一章复数与复变函数: 28.点之间的距离，两者可统称为纯对值.但由于复数有辐角的概念，故作为复数域中的实数也都有一个辐角（0或元），这显然与实数域中的实数是不同的,4.正确理解复变函数及与之有关的概念：正确理解区域、单连域、多连域、简单曲线等概念思考题1.1一个复数的实部和虚部是否唯-确定？又其模和辐角是否唯一确定？复数0的辐角是否确定？为什么？1.2如何运用复数的代数表示式进行四则运算？要注意什么？1.3下面的表示式或说法是否成立：(1) 0<i;(2)2i<3i;（3）因为3>2，所以3—i>2—i：（4）由2=十y得Argz=Arctan习题1.1计算下列各式。(1) (1+i)-(3—21);(2) (α-bi);i(4) 2)(3) （-1)(-2)(=+iy-t).2+11.2证明下列关于共轭复数的运算性质：1）（22）22(2）（2122)=212242()(3)(22+0),22Zg[2Z1—22i,1. 3解方程组(1+i)zi+iz=4 3i.1.4将直线方程ur十by+c=0（af0)写成复数形式【提示：记iy=.］1.5将圆周方程α(+）+bx十cy+d=0（α≠0)写成复数形式即用与
第一章复数与复变勇数.30.（2）以0为中心，焦点在实轴上，长半轴为u.短半轴为b的椭圆周1. 14试将函数-2-i(r)笃成的函数（=+iy)Re=不存在.1. 15试证lim2-设1. 163~±0. +2'f(z) -10.0.Z-试证f（2）在z=0处不连续
1第二章解析函数解析函数见本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象·它在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章先引入复变函数的导数概念然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件.它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的，接着介绍几个初等函数，这些初等函数是最常用的丽数.因而特别重要，82.1解析函数的概念2.1.1复变函数的导数定义2.1设函数二f（）在点。的某邻域内有定义，十是邻域内征一点，三f（十）一（），如果= limf(z+-)limAA存在有限的极限值A，则称J（）在Z处可导、A记作（）或dw，即dzf(zo+A)-f(z)f'()=lim(2. 1)Az或AW =f(z)Az + 0(14)(4z→0).(2.2)也称df（）=（或（)d为f）在处的微分，故也称f(2）在&。处可微由定义易知，如果f（）在：处可导（或可微）则f（）在之处连续
多2.1解析函数的概念33.F(2)±g(e),f(2)g(e)以及)(9（g（z）0)在D上为解析，且有[f()±g(z) =f()±g(),f(z)g(z) =f(z)g(z) + f(z)g(2),f(z)f(z)g(e) - f(z)g(z)[g(α)]?g()此外，很容易知道常数的导数是0，以及(z")"二nz"-1（n为自然数），kf（z）=（）（为常数）.（2）复合函数的求导法则设函数=（z）在区域D内为解析，函数=g（)在区域G内为解析，又f（D)CGf（D）表示函数一（）的值域，也就是区域D的像），则复合函数=g（f(）)=h（）在D内为解析，且有h'() = [g((z))J = g(f(2))f"(α).（3）反函数的求导法则设函数=f(）在区域D内为解析且（）≠0，义反函数f1(）=w)存在且为连续，则1g'(w)f(z)f(p(w))例 2. 3求函数 F(2)=22±的解析性区域及该区域上的导4z*+1函数.解设P（）=225—+3，Q（z)=4z+1,P和Q都是z的多项式，由函数（n为任意自然数）在全平面解析的事实以及乘积与和、差的求导法则知P和Q都在全平面解析.而由商的求导法则知当Q（）手0时，f（）=P（2）/Q（）为解析，又方程Q（）=0即42十1=0的111.因此在全平面除去点立解是Z士的区域内f（z）与42为解析.f（）的导数可如下计算：P(z)Q()— P()Q(z)f(2)= [Q(z)]