第一章复数与复变函数·20.1CX =0来定义的.它和有限数的四则运算定义如下：（加法）a十=x十a=(a0)（减法）(atx)x-u=.u-=x（乘法）(ut0)a-α=-a=9=0,2=8（除法）(azx)Xu在这种定义下，一问不能以0为除数的除法，现在可能了，但要注意，0X士，0.x.x:0.x0都无意义，对于复数而言，其模规定为十x，而实部、虚部和辅角均没有意义对于其它的每一个复数，都有|！<十x，相比较而言称为有限复数.在复平面上没有一点与x相对应，但我们可设想复乎面上有一理想点与它对应，此点称为无穷远点.复乎面加上无穷远点称为扩充复平面.扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点，［注包括无穷远点自身在内且满足|z>M的所有点的集合·其中实数M>0，称为无穷远点的邻域，换言之，无穷远点的邻域是包括无穷远点自身在内的圆周|z一M的外部.不包括无穷远点自身在内，仅满足|>M的所有点的集合，称为无穷远的去心邻域，它可表示为M<12<+8.$1.4.2复球面我们知道，把复数表示成复平面上的点或向量，都是由于实际需要而采取的表示方法（正如同数学是从实践中产生）由于实际需要还可以用其他方法表示复数，例如，在地图制图学中考虑到球面与平面上点的对应关系，即把地球投影到平面上去进行研究.这种方法叫做测地投影法.我们利用这种方法，以建立全体复数与球面L的点之间的一一对应关系，于是用球面上的点来表示复数，进而确立了x的几何意义
- 21 *61.5复变函数-NC0/ (S)1x图1.11取一个在原点0与平面相切的球面（图1.14），并通过点0南极S）作一垂直于平面的直线与球面交于N点（北极），我们称N点为极点，分别用直线段将点N与球面上的点Z相连，其延长线交平面于一点之，这就建立起球面上的点（不包括N点）与平面上的点（有限点）之间的一一对应关系，点是点Z在平面上的投影，点Z可以看作是复数2的球面图形，这球面就叫作复数球面.现在研究平面上与极点N相对应的点.对于平面上一个以原点O为中心的圆周C，在球面上相应的图形也是一个圆周T（所谓纬线），当圆周C的半径越来越大时，圆周F便越趋近于极点N.因此，点N可看作是平面上无穷远点在球面上的图形.这样，球面上的点与扩充平面上的点之问就完全一一对应了。以前，我们曾设想复平面上有一个“理想点”与相对应，现在可以形象地把这个点表示出来，因此“理想点”的设想是合理的，是有其客观依据的.应该注意：在实变数的情况下，十与一x是有区别的，它们分别是表示“点列”无穷增大与无穷减小的记号、而在复变数的情形下，α是没有符号的！
·22.第一章复数与复变函数81.5复变函数81.5.1复变函数的概念设G是复平面上一点集.如果对于G中任意的一点，有确定的（一个或多个）复数W同它对应，则说在G上定义了一个复变函数，记作u一f（之）（定义域与值域等名称都可从高等数学中移植过来，不再一叙述）如果对每个EG，有唯一的同它对应，则称=（）为单值函数，不是单值函数的函数称为多值函数。在一般情形，我们说到“函数”都是指单值函数，如果是实轴上的一个闭区间，则二（）就是实变量的复值函数.曲线的参数方程=之（）（u≤1≤b）就是这种函数的一个例子。设之=工十iy则=f（）可以写成下列形式w=f(z)=u+iv=u(r,y)+iu(r.y).其中u(，y）与(r，y)为实值函数.分开上式的实部与虚部，得到u - u(r,y), r = v(r.y).这样，一个复变函数一）就相当于一对二元实变函数，e一f2）的性质就取决于u=u（r，y）与v=(r.y)的性质例1.13将定义在全平面上的复变函数=2+1化为一对二元实变函数，解记之=r十iy-=u+iu，代人u=-1得u+iu=(+iy)+1=r.3+1+2iry分开实部与虚部即得u-+l,=2ry例1.14将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实变函数2xy(r+子0)u+y+化为一个复变函数
81.5复变函数23解记r十y=，+iw则2x—iyu=+i-1-31将文(2+2).y（一）以及→一效代入上式，经整理后21得3+1(2± 0),2元22一个复变函数也可看作一个映射（或变换），设（）的定义域为G.f（z）的值的集合（即值域）为L).则f（）将点集（的点映射为点集D的点.设f）将中的点之映射为1）中的点，集G映射为集则称点心为点之的像点之为点的原像，同样称）为（的像G为D的原像.因."和"均为变数，为避免采用四维空问的困难，我们用两个平面，一个是平面，将的点描在?平面上：另一个是平面，将其像描在平面上（图1.15（a））例如，两数=，将点111-i映射为点i将区G.Im≥0,Re≥0.11映227射为平面上的区域D：me>0.z<1（图1.15（b））XVJII1-200of(a)(b)阁1.151.5.2复变函数的极限与连续性定义1.1设函数=)在的去心邻域0<1内有定义.若有确定的复数A（A牛）存在.对于任给定的≥0，总存在个正数，使得对满足01（0）的一切都有1
第一至复数与复变函数+24*f()一A<e，则称A为陋数f（）当z趋向时的极限.记作limf()=A或 f(z)→A(当 z-2)这个定义的几何意义是：当变点在的一个充分小的邻域时，它们的像点就在A的一个给定的邻域由于是复平面上的点，因此可以任意方式趋近于但不论怎样趋近，f（z）的值总是趋近于A.这个定义形式上与高等数学中的一元实函数的情况相同·因此，复变函数极限有类似于实函数极限的性质，例如，当limf()=A,limg()= B2"04*70时有lim[f(z)±g(z)]=A±B,limf(z)g(z) AB,f(z)— Alim(B≠0)g()B复变函数极限的计算，可归结为实数对极限的计算，具体来说，有下面的定理：定理1.1设函数f(z）=u（r,）+iu(r,y)，A=un+io.a=r十iyo，则limf（）一A的充要条件是limu(α,y)=uo，limv(r,y)=vo+证必要性：若limf（z）=A，根据极限定义，当V-(-时，则有If(z)-A|= I(u + iv) - (uo + ivo)l=(uu)+(-)<e.于是显见，当0<一+）时则有Iu-u,l<.l-vl<e