第二章解析函效.34(4z+ 1)(10z — 1) —(2 — + 3)(8)(121))2410*+12-21z-1(42 + 1)S2.1.3函数解析的一个充分必要条件设函数一/（）在区域D内为解析，根据复变函数与二元实变函数的联系，我们自然要问：作为解析函数的实部与虚部的两个二元函数有什么特性？下述定理回答了这个问题，定理2.1闲数）（）+i（)在十iy处导的充要条件是，u（x.y）（，y)在点（.）处可微，而且满足柯西一黎曼（Cauchy-Riemann）方程（简称C-R方程）：(2. 3) ayayd证先证必要性设f（）在一i处可导，记作f（）=十则由（2.2）式有f(+)-()(+)+o(.)=(a+6)(→)+)其中，f（）-f（z）u十ir十ia分开实部和虚部，得u(r+yAy)-(ry)=aAbdy+o(A)v(r + Ar,y + Ay) vx.y) = hAr + aAy+ o(lA),可见u(y)及(r,)在点（,y)处可微.并有u--6-2-04a=，dyar'再证充分性.设u.v在（α.y）处可微，且（2.3）式成立.则有Au = u(r,y)Ar + u(r.y)Ay + o(iAzi)Du - u(.y)Ar + .(r.y)Ay + (IA)于是由（2.3）式知Aw-Au+iu=[u()+iu(y)(AriA)+o(A)因而
32.1解析函数的概念.35-A70lim=u(a.y)+iu'(r,v)=a--bi.2由上讨论可见，当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算f'(z).chtdu:dtp()tiararardyCht-ia--dr:a(2. 4)yaxaythy注意，C-R条件只是函数了（~）可导的必要条件而并非充分条件这个道理可以很简单地说明，因为，一个二元函数在某一点有偏导数甚至不能保证函数在该点为连续，更不要说在该点为可微了，例如取两个函数u(y)与r.如下：ry+y≠0.2+2w(r,y) = w(r,y) :0.2+y2=0,再令f（）=u（）+iv（.y）则f（）在z=0这点就满足=0二0，ar =ardydy但f）在之一0处是不连续的，从而是不可导的如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论，定理2.2函数f(）=u(xy）+iv(r，y)在区域D内解析（即在D内可导)的充要条件是，u(y）和(r，v)在I)内处处可微，而且满足C-R方程推论设（）=u(y)+iw(，)在区域D内有定义，如果在D内u(r，y)和c,y)的四个偏导数u，u，，存在且连续，并且满足C-R方程，则f(）在D内解析证由于u(,y)和ry)具有阶连续偏导数，因而u(.y)和u(r,y)在D内可微.由定理2.2知f(z）在)内解析上述定理提供了判断函数（）在区域1I）内是否解析（或在某点是否可导）的方法，即f（z）在D内不满足CR方程，则f（z）在D内不解析如果在D内满足（-R方程，而上u和具有一阶连续偏导数，则
第二章#·36*解析函数厂（z）在D内解析.并给出了一个简洁的导数公式（2.4）例2.4讨论下列函数的可导性和解析性(1)w=Re x:(2)w=l;(3) f(z)=e'(cos y+i sin y)解（1）因为u=，u=0.且2=1，岁=0.a丸00,ayaar,dy可知C-R方程不满足，所以w二Rc&在复平面内处处不可导，从而也处处不解析（2）=十所以=十，=0月a=2元，3yat=2y.ar=0.岁=0，ardy可见C-R方程只在点（0，0)成立.由定理2.1知该函数在=0处可导，且由（2.4）知（0）一0.对于其它0的点，这个函数不可导，所以这个函数在之一0处不解析，从而在复平面上处处不解析.(3）因为u=e'cosy，u=e"siny，月auaue'cos y,yaae'sinyare'sinyaye'cosy,ar从而C-R方程满足，并且由于上面四个一阶偏导数均连续，所以f（）在复平而内处处可导，故也处处解析.根据（2.4）式，有a+iaF(z) = = e*(cos y+i sin y) = f(z).Tarar例2.5如果(z）在区域D内解析，而且满足下列条件之一，则f(z)在D内为常数(1)f(z）=0；（2)Ref(z)=常数；（3）「f(z)/为常数0taam证(1)由(z)arIarayarayaxayay0,故u，V都是常数，从面f()在D内为常数a（2）因为u=常数，故要一要=0.由C-R方程知=0，所以axayar一ayf(z)为常数
2.2解析函数和调和函救的关系.37.（3）1（）"=u十=常数，分别对，求偏导数得Cntrntaudu-0,10：uax73sardy由C-R方程得autuchicn0.0.-uaxayardy所以(u+)-0.(u?+22)=0dy当u十=0时=一0，故（~）一0，因而得证+，=0,故一常数，再由(2)知(z)在D内当u+”+o时，"y为常数，$2.2解析函数和调和函数的关系2.2.1调和函数的概念平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系.下面给出调和函数的定义，定义2.3如果二元实函数，y）在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace）方程+=0.ar24Idy?则称，y)为区域D内的调和函数，或说函数g(，y)在区域D内调和.定理2.3设函数f（）=u（.3）+iw（，）在区域D内解析，则f（）的实部u（r，y）和虚部v(，）都是区域D)内的调和函数证因f(α）在区域D内解析，所以u，在D内满足C-R方程
第二章解析函数.38.一一ar=ay.aar当f（之）解析时.有任意阶连续偏导数（这一事实本书后面将要指明),在上述二式中分别对与交求偏导数，得子uuPuauaye,araydyarrru子u因ya·于是ardy子u子u子t'u+=0.ar?ay2arayAydr这就是说，（x，y)是区域D内的调和函数.同理，u（，y)也是区域I)内的调和函数2.2.2共轭调和函数定义2.4设函数g(r，y)及(，y)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方程迎迎一ayarty则称中是的共轭调和函数，显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理（证明从略）回答了这个问题定理2.4复变函数f(z）=u(α,y）十iv(x,y)在区域L)内解析的充分必要条件是：在区域内，f(）的虚部(.y)是实部u（，y)的共轭调和函数根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数。82.2.3解析函数与调和函数的关系由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中的一个，则可根据