181.2复数的三角表示1311.2.5复数的乘方与开方设≠0是一复数，n是一止整数”即是n个相乘的积，故从乘/法法则立即可以推出乘方法则.记z=r(cos0+isin6），则1z"-Lr(cos 0+ isin 0)"-r"(cos ng+i sin nf).(l.12)公式（1.12)的-个特殊情形是r=1，即1(cos +i sin 8)"=cosno+isin ng.(1.13)（1.13）式称为棣摩弗（DeMoivre）公式.把此式的左端展开，再分开实1部与虚部，就可以得到n倍角的正弦和余弦用单角的正弦和余弦来表达的公式.我们以1=3，即以3倍角为例，由(cos6+isin6)=cos30+isin39将左端展开得到cos3icos20sin6-3cas6sino-ising1=cos36+isin 30.分别比较等式两边的实部与虚部得到co5 38 cos0 -3cos 0sin0,sin 30 = 3cos6sin 0- sin"8此两式就是在中学数学中学过的3倍角公式.显然，这种方法比三角方法简便再考虑开方开方是乘方的逆运算，对于任意一个复数以及任意一个正整数n，所谓的n次方根，记作，是指这样的复数，它满足"=z.如果之二0，显然有=0.因此，我们假定之十0.为了从上式解出，我们用三角表示，写r(cos +i sin ),= p(cos $Tj sin ).丁是有[o(cos + i sin p)"=r(cos e+ i sin 0)得到
15.31.3平面点集的一般概念故用公式（1.15）计算得2k+isin2k元z=E2(cos0+isin0)=2(cos33k0,1,2.所以方程2=2有3个解，它们是, 2(-+).3;132（22.22[注在复数中2开3次方根有3个值，它们的模都是2的3次方根中取正实数的那一个，即算术根.81.3平面点集的一般概念51.3.1开集与闭集在第一节中已经说过，对于一个复数与它所对应的平面上的点我们将不加区分，因此点可以用复数表示，而复数可看作点，对于一些特殊的平面点集，我们将采用复数所满足的等式或不等式来表示，平面上以。为中心，（任意的正数）为半径的开圆表示为：Iz-zol<,称它为的邻域，面称由不等式02一21所确定的点集为。的去心邻域，设G为一平面点集：（1）2。为G中任意一点.如果存在2。的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，那么称2。为G的内点如果G内的每个点都是它的内点，那么称G为开集（2）平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作G①，开集的余集称为闭集（3）。是一点，若在2。的任一邻域内既有G的点又有G的点，则①G的余集，在集合论中，有时记为CG
81.3平面点集的-般概念.17:(1)2+20;(2)+2—i1(3)0≤arg22解（1）记则+即是0.它表示半平面（图1.9）.这是一个区城，J2+i(z)(z)图1.9图1.10(2）写+2-i=2—（—2+i).则|2十2i≥1即（-2+)11，它表示以-2一i为中心，以1为半径的圆周连同其外部区域（图1.10)它是一个闭区域（3）这是介于两射线arg2=0及云之的一个角形区域arg之m3.(z)(图1.11).[图 1. 111.3.3平面曲线在高等数学课程中已经知道，平面地线可以用一对连续函数- r(0),=()(astsh)
: 18 ·第一章复数与复变函数来表示（称为曲线的参数方程表示）我们现在用实变数的复值函数之（t）来表示，即() = r(t)+iy(t) (u t≤b).例如，以坐标原点为中心，以（为半径的圆周，其参数方程可表示为r=ucost,y=usint(o≤t≤2r)写成复数的形式即为-u(cost+isint)(ot≤2元)又如，平面上连接点（，y）与（x，）的直线段，其参数方程可表示为r=+(a2-).y=+(-3)t(0≤1≤1)从复平面上看，这就是连接点=1十i与点=十i3的直线段，故其复数形式的参数方程可表示为2=2+(2-2(0≤1)除了参数表示以外，通常我们还用动点所满足的关系式来表示曲线，例如把以2=0为中心，以α为半径的圆周，表示成为|一α：平行于虚轴且通过点2一1的直线·从1一i到1十i的一段可表示成Re2=1（-l≤Im≤1)等等如果在区间αtb上（t）和（t）都是连续的且对于/的每一个值有[α(t)]+ [y(t) 0.那么这曲线称为光滑的，由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线设C：2（t)(a≤t≤b）为一条连续曲线.（α）与z(b)分别称为（的起点与终点，对于满足utb.at≤h的t与t当t,而有（t）（t）时，点z（t)）称为曲线（的重点.没有重点的连续曲线（，称为简单曲线或若尔当（Jordan）曲线.如果简单曲线C的起点与终点重合，即（α）二（b），那么曲线C称为简单闭曲线（图1.12（a））由此可知，简单曲线自身不会相交.图1.12(c）与1.12(d）都不是简单曲线若尔当曲线定理任一简单闭曲线将平面分成两个区域它们都以该曲线为边界.其中个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部：另一个为无界区域，称为外部
$1.4无穷大与复球面19.（）z(a)(z(a)=z(b)简单、闭简单、不闭不简单、闭不简单、不闭(a)(b)(o)(d)图1.12根据简单闭曲线的这个性质，我们可以区别区域的连通状况设D是--区域，如果对D)内的任一简单闭曲线，曲线的内部总属于D.则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域、一条简单闭曲线的内部是单连通域（图1.13（a））.单连通域D)具有这样的特征：属于I）的任何一条简单闭曲线·在D内可以经过连续的变形而缩成--点，而多连通域就不具有这个特征（图1.13（b））(a)(b)图 1. 13$1.4无穷大与复球面1.4.1无穷远点为了使复数系统在许多场合是方便的.我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的“复数”一无穷大·记为，它是由下式