第一章8.复数与复变函数yiY2,-2221+Z21-221olxO(a)(b)[图] 1. 5=(±)+i(±),这恰好同向量的加，减法一致，因为，复平面上从点&一0到点三的向量对应于复数，从点之=0到点=。的向量对应于复数2两个向量相加相当于它们的水平分量与铅垂分量相加.所以复数加法可以用向量相加的三角形法则在图上作出（图1.5（a））、复数减法也可以类似地在图七作出（图1.5（b））.这里.向量0，减去向量()2所得的差就是从点2到点的向量，这个向量所对应的复数是2，-2，注意到这个向量的长度就是复数名一2的模，我们就得出一个结论：对任意两个复数与一就是复平面上点一与点之间的距离，这是一个很有用的结果.例如，由此可知，复平面上以之。为中心，以为半径的圆盘，就是满足不等式12一z<的点z的全体，简单地，就用不等式2一2|<表示，从上面这个结论出发·再根据三角形两边长之和大于第忘边长，两边长之差小于第三边长的法则，可以得到关于复数模的三角不等式z/+11(1. 5)而从图1.5（a）得到类似的不等式11211111+121.(1.6)以上两个不等式申中有一处等号成立的必要充分条件是，与之位于
S1.2复数的三角表示通过原点的同直线上，（1.5）式与（1.6）式可以用共钜复数的性质来证明.我们以（1.6）式为例,[+（++)+++=12112+[z,1?+2Re(z.22)又因为[Re(z,z)≤[z.z,1-[z1z=1z,!iz.1所以就有[+≤1.1"+21+ 21z 1:1=(1/+[21)2,以及[,+[[z2 (1[)因此（1.6）式成立，将（1.6）式中的2用一替代.就得到（1.5）式请读者留意：不等式（1.5）及（1.6）都是对复数的模而言的，复数本身不能比较大小·故不存在形如≤?的不等式。1.2.3复数的三角表示设之是一个不为0的复数，是之的模，是的任意一个辐角，则z = r(cos 0 -i sin 0).上式右端称为复数的三角表示.反过来，对于任意的正数，与实数6，r（cose+isin）定是某个复数&的一角表示.事实上，该复数2一r(cos 8+i sin 8).一个复数的三角表示不是唯一的，因为其中的辐角有无穷多种选择，如果有两个一角表示相等：Ti(cos0+isinB)=re(cos,Tisin0,)则可推出r=r2+92+2h,其中为某个整数例1.2写出复数1十i的二角表示式
第一章复数与复变函数10.元.所以1十i的三角表示式解因为l1+il=V2，arg(1+i)=1可以写成TE+isin1+i= V2(cos449元如果取1十i的另一辐角，例如取2十六，则1十i的元角表44.示式也可写成9元）1+i=y2(cos+isin元44例1.3写出复数-1-3i的三角表示式解先算出|-1-3i|=V10，以及arg(—1—3i)=arctan3-元。故所求的三角表示式川写为—1-3i=V1o[cos(arctan3-.元)+i sin(arctan3—元)].设z=r(cos8+isin).求一的二角表示例1.41-2因为解，[2！=(cos Bi sin 0),故1=1(cos 8-i sin 0)d[cos(-- ) +i sin( - )].最后的式子就是一的三角表示，1.2.4用复数的三角表示作乘除法81.2.2段已指出复数的加、减法则与向量的加、减法则相一致，但复数的乘法与向量的数量积或向量积都不相同.不过，利用复数的三角表示可给复数的乘法和除法以新的解释，设z=r(cos i sin ),22=rcos0+ sin 0)这里,r,=z，1，8,是z，的某一个辐角（j一1，2).由（1.3)式可知
$1.2复数的三角表示.11.2i z2 =rir2[(cos Qicos 92 - sin 9,sin 02)+i(cos ,sin ,+sincos ))(1.7)rir,[cos(, +8,)+i sin(o + e,)]分别写出模与辐角的运算法则，就是[z1 +z2[ =rr2 = !zi/lz.1-(1. 8)Arg(.2)=,+0,+2k元一Arg z + Arg 22.(1.9)（其中的可取任意整数，）请读者注意，等式（1.9）是-个表达多值相等的式子.它的意义是：对于Arg21的任意一个取定的值与Arg。的任意一个取定的值之和，必有Arg（·22）的某一个值同它相等，反之，对于Arg（：·）的任意一个取定的值，必有Argz与Arg2的各一值使它们的和同该取定的值相等。今后我们还会遇到这种多值相等的式子，对它们都可以作类似上面的解释根据（1.8）式及（1.9）式可知复数乘法有其几何意义.这就是：乘积z：：z2所表示的向量可以从2,所表示的向量旋转角度Arg2并伸长[|倍获得（图1.6（a)).对特殊情形i2，其中为任一复数，由于复数i(或一i)的模等于1，主辐角等于号（或一），因此乘积iz(或一is)所表Z2Iy2j*222.86.80-62xoe22(a)(b)图1.6
第一章.12.复数与复变函数示的向量就是复数所表示的向量反时针（或顺时针)旋转一个角度号复数除法是乘法的逆运算，故当≠0时有[cos(8-)+i sin(,-8,)],(1.10)22或者写成, Arg = Arg zi - Arg 221(1.11)12.,由此，除法也有其几何意义（图1.6（b）），例1.5用元角表示计算（1+/3i)（-3-i).解因为T元1+V3i=2(cos-+isin33Sr) +i sin(5元)],V3-i=2[cos(--66所以(1+/3i)(-3i))+i sin(--4[cos(-4i.n2例1.6用三角表示式计算（2十i）/（1一2i)解因为I+i sin arctan2+i=V5(cosarctan221— 2i =5[cos arctan(- 2) +i sin arctan(-2)],所以1(2+i)/(1 - 2i)cos[arctanarctan(—2)21+isinlarctanarctan(— 2)2T元+isin-i.=cos22