第一一章复数与复变函数复变函数论中所研究的函数的自变量与因变量均取复数.因此，首先对于复数域以及复变量的函数要有清晰的认识，本章论述复数的基本概念、复数的四则运算、复数的三角表示、平面点集的一般概念及其复数表示，以及复变量连续函数.复数的概念，四则运算以及三角表示在现行中学数学课本中已经涉及，们可能有的读者未曾学到，因此这里仍从头开始，由于复数全体可以同平面上的点的全体作成一一对应，所以平面点集以后经常要用到.这甩仅介绍平面点集的--般概念，学习将某些简单的平面点集用含复变数的等式或不等式来表示的方法：关于复变函数，本章主要讨论连续函数的性质，许多定义与结果形式1看与高等数学中所学的颇为相似，但意义已不尽同，希望读者在开始学习时就特别留意，81.1复数81.1.1复数的基本概念我们将形如=十iy的数称为复数，其中i称为虚数单位，并规定i?i·i一一l.或i=i；r与y是任意实数.依次称为的实部（Real）与虚部（Imaginary），分别表小为Rez=a,Imz-y.例如，对复数一2十i,有Rez=V2,Im z=1.当y=o时，=+iy=十io，我们就认为它是实数，当r=0时，z=r十iy=0+iy，我们称它为纯虚数，并且就写作iy.例如2十i0就是实数2；0十3是纯虚数，可以写成3i；而0十0i即可看作实数0，也可
第一章复数与复变函数.2.以看作纯虚数 0i.设=+iy与+i是两个复数.如果=2.=则称与2相等，由此得出，对于复数=十iy，0当且仅当X-=0.设之=十iy是一个复数，称一iy为的共轭复数，记作.易知（）一之.共轭复数有很多用处，后文将逐步介绍81.1.2复数的四则运算设z,=,十iy，z2一+iy是两个复数，定义复数的加法为：+(r+)+iy+y)(1.1)复数的减法是加法的逆运算，如果存在复数使2二十，则2—21—22.因此得到21 -- 22 = (i -r2) +( 2)(1. 2)定义复数的乘法为：(1.3)z=(ria2yiy)+i(rye+ry)例如(2-3i)(4+5i)=[2·4—（—3).57+i[2·5+（-3)·4]=23 - 2i.由乘法定义可验证i.i=(0+1-i)(0+1.i)=-1复数的除法是乘法的逆运算当&≠0时，我们说：“，除以得到商”，意思就是2122-2.从这个式子我们来求.记r十iy由于r, +iyi=(rz+iy)(r+iy)= (r2r - yy) + i(y + ry)根据两个复数相等的定义，得到=yyyy+y2
.4:第一章复数与复变函数1(1Rez(z+2), Im z =(之一),-212例1.1设2，名2是任意两个复数，求证：2Re(z122)2:22+2122(2十)可算得证利用公式Rez=22Re(22)=+（2)2+22十学习了以！两段以后，读者可仔细体会，以加深对复数的认识，最初当给出复数概念时，我们所知道的复数是什么？复数无非是一个实数另一个实数用"”及“十”连接而写成"十i这样一个形式的东西，“”是什么，“十”是什么意思，都未加说明.后来，介绍了复数与实数的关系，复数与纯虚数的关系，又介绍了复数加法的定义，这样，我们也就可以把r十iy看成实数r同纯虚数iy相加.其后，又定义了复数乘法.利用复数的加法与乘法，现在已可将复数2一十i真正理解为虚数i乘y，然后再加上的结果（注意=十i0，y=y+i0i=o+li)2=(r+oi)+(0+1.i)(y+oi)=r+iy.历史上，当人们第一次引进1的平方根并把它当作“数”的时候，是把它作为想像中的数，所以称为“虚数”后来就把形如十iy的数叫做复数，意思是“复合”起来的数，1.1.3复平面一个复数十iy可唯一地对应一个有序实数对（z，y）而有序实数对与坐标yt平面上的点是一一对应的.所以，复数2X+iy全体与坐标平面上的点的全体形成一一对应.现在我们直截了当地把坐标平面上03x的点写成十iy（图1.1），那么，横轴上的点就表示实数.纵轴上的点就表示纯虚图 1. 1数.整个坐标平面可称为复（数）平面，今
31.2复数的三角表示后我们索性将复数与复平面的点不加区分，这种点，数等同将给我们带来许多方便在点、数等同的观点下，一个复数集含就是一个平面点集因此，很自然地.某些特殊的平面点集就可以用复数所满足的某种关系式来表示，例如、iz:Im z0!与z:0Re2sl.0im2≤1分别表示上半平面与以0，1，1+i，i为顶点的正方形81.2复数的三角表示81.2.1复数的模与辐角上面说过，复数与平面上的点作成一一·对应，这是将复数实部与虚部分别看作直角坐标系下点的横坐标与纵坐标.除此以外，复数还可以同平面向量作成对应，只要将复数的实部与V虚部分别看作向量的水平分量与铅垂分量就行了.所以我们也可以把复数与平面向量等x+iy同起来，不过要注意，向量具有平移不变性，即其起点可安放在任意·一点，如果把向最的起点放在（复平面的）坐标原点，则此向量及X向量的终点在上述两种对应下恰好对应同一图1.2个复数（图1.2).如果z是一个不为0的复数，我们把它所对应向量的长度叫做名的模，记作|；把它所对应向量的方向角叫做之的辐角，辐角有无穷多个值，其中任意两个值相差2元的整数倍：今后，我们用记号AIg之作为之的辐角的一般表小意思是它可以不受限制地取之的辐角的任意值，再用记号arg表示的所有辐角中介于一元与之间（包括元）的那-一个角，并把它称为之的主辐角，即一元<arg元（顺便指出，有的书！
.6.第一章复数与复变函数把z的所有辐角中的非负最小值作为主辐角，也用记号arg之表示.这样便有0≤aig之<2元）.所以Arg z= arg z+2k元,yIArgzAT3argz(z)图1.3是任意的整数（图1.3).当名=0时，[~|=0，这时辐角没有意义.对于共轭复数，我们有l=以及arg=arg牛0且不为负实数，对负实数有arg=arg=).对=十iy易验证+y,因此+由此推出1--2对于个不为0的复数=十iy，它的实部与虚部同它的模与辐角之间有如下的关系，一方面有r=zlcosArgz,y=[zsin Argz,另一方面，反过来有1zl=+y从而有明显的不等式