第四节幂级数
第四节 幂级数
一、函数项级数的概念定义4.1设u,(x)(n =1,2,…)是定义在区间I上的函数，称2.u,(x) =u,(x)-u,(x)+...+u,(x)+..n=l为定义在区间上I的函数项级数8Z若xEI，数项级数u,(x）收敛(发散)，称x,为n=1&u,(x)的收敛(发散)点级数n=l所有收敛点的全体称为函数项级数的收敛域所有发散点的全体称为函数项级数的发散域
一 、函数项级数的概念 1 2 1 ( ) ( 1,2, ) , ( ) ( ) ( ) ( ) . 4.1 n n n n u x n I u x u x u x u x I = = = − + + + 设 是定义在区间 上的 函数 称 为定义 定义 在区间上 的函数项级数 所有收敛点的全体称为函数项级数的 , 所有发散点的全体称为函数项级数的 收敛域 发散域. 0 0 0 1 , ( ) ( ), n n x I u x x = 若 数项级数 收敛 发散 称 为 1 ( ) . ( ) n n u x = 级数 的收敛 发散 点
在收敛域X上，，称为函数级数的和是x的函数，级数的和函数，即8ZS(x) =u,(x), xeX.n=1余项记S,(x)为函数项级数前n项的和,r,(x) = S(x) - S,(x),则在收敛域上有limr,(x) = 0
1 , , , ( ) ( ), . n n X x S x u x x X = = 和 在收敛域 上 函数项级数的和是 的函数 称为 级数的 函数 即 ( ) , ( ) ( ) ( ), lim ( ) 0. n n n n n S x n r x S x S x r x → = − = 记 为函数项级数前 项的和 余项 则在收敛域上有
一幂级数及其收敛性形如定义4.28Zaa,(x-x,)" =a, +a(x-x,)+a,(x-x,)n=0+... +a,(x-x,)" +...的级数称为幂级数.1其中a,a,,…,a,,……称为幂级数的系数当x,=0时,幂级数的形式为Za,x" =a, +ax+a,x'+..十·n=0
二、幂级数及其收敛性 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 4. ( ) ( 2 ) ( ) ( ) . , , , , . n n n n n n a x x a a x x a x x a x x a a a = − = + − + − + + − + 定义 形 的级数称为幂级 其中 称为幂级数 如 的系数 数 0 2 0 1 2 0 =0 , . n n n n n x a x a a x a x a x = = + + + + + 当 时 幂级数的形式为
8x"，当x<1时，该级数收敛,其和例如幂级数江n=1为该级数发散当x≤1时,B1 - x80因此，幂级数x"的收敛域为(-1,1).n=0
1 , 1 , , 1 , 1 , 1 n n x x x x = − 例如幂级数 当 时 该级数收敛 其和 为 当 时 该级数发散. 0 , ( 1,1). n n x = 因此 幂级数 的收敛域为 −