第八章多元函数积分学第一节一重积分的概念与性质
第八章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与性质
回忆求曲边梯形面积已知：矩形面积期望：曲边梯形面积y1BZ分割z=f(x,y)利用是积分可以计算曲边梯形的毛臀，空间中的一个曲顶柱体?的体何计算？1取极限D60xnZf(5,)Ax;f(x)dx = lim限10i=l
利用定积分可以计算 曲边梯形的面积，空 间中的一个曲顶柱体 的体积该如何计算？ b aA B x y = f (x) S x yO y = f (x) 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x 分割 近似代替 求和 取极限 i 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i A f x dx f x → = = = ？ 已知：矩形 面 积 期 望：曲 边梯 形 面 积 回 忆求 曲 边梯 形 面 积
一、 实例2z=f(x,y)顶柱体的体积给定曲顶柱体底：xOy面上的闭区域D；y顶：连续曲面z= f(x,y)≥0;D侧面：以D的边界为准线母线平行于z轴的柱面?曲顶柱体的体积1.平顶柱体体积期望：曲顶柱体体积已知：2.求曲边梯形面积的思想与方法
曲顶柱体的体积 ？ 曲顶柱体的体积 一 、实例 给定曲顶柱体 ; ( , ) 0; , xOy D z f x y D z = 底: 面上的闭区域 顶: 连续曲面 侧面: 以 的边界为准线 母线平行于 轴的柱面. 1. 2. 平顶柱体体积 已知: 求曲边梯形面积 期望: 体积 的 曲顶 与方法 柱体 思想
分割AZ近似代替z=f(x,y)AV, ~ f(5i,n.).△oi求和V~Zf(5,n,).A0,JAgi=lD取极限(Si, n)nZf(5,n,)-Ao,V = lim2-0i=1其中入为各小区域直径的最大值
si (i , hi ) ( , ) V f i i i i h s 分割近似代替 求和 1 ( , ) n i i i i V f h s = 取极限 0 1 lim ( , ) n i i i i V f h s → = = 其 中 为 各小 区 域 直径 的 最大值
一、一重积分的概念定义1设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数，如果把D任意分割成n个小区域△D，△D，.…,△D,，在小区域△D,(i =1,2,…,n)上任意取(5,n,)Ao,总存在一点(5;,n,),若极限lim元-0i1(其中△α为AD的面积2,为△D,的直径a = max[a,2,,..,a,j),，且该极限与对D的分割与（，n）都无关，则称这个极限值为函数(x,y)在D上的二重积分,记为[f(x,y)do,D此时称f(x,J)在D上可积
二、二重积分的概念 1 2 0 1 1 2 ( , ) , , , , , ( 1,2, , ) ( , ), lim ( , ) , , max{ , , , } , ( , ) , ( 1 , ) n i n i i i i i i i i i i n i i f x y D D n D D D D i n f D D D f x y D h h s s h → = = = 设 是定义在有界闭区域 上的有界函 数 如果把 任意分割成 个小区域 在小区域 上任意取 一点 若极限 总存在 (其中 为 的面积 为 的直径 ) 且该极限与对 的分 割与 都无关 则称这个极限值为函数 义 在 定 上的 , ( , ) , ( , ) . D f x y d f x y D s 二重积分 记为 此时称 在 上可积