第四节一阶常系数线性微分方程
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、一阶线性微分方程解的结构形如(1)y" + p(x)y' +q(x)y = f(x)的微分方程称为二阶线性微分方程形如(2)y" + p(x)y' + q(x)y = 0的微分方程称为一阶齐次线性微分方程
一 、二阶线性微分方程解的结构 ( ) ( ) ( ) (1) . y p x y q x y f x + + = 形如 的微分方程称为二阶线性微分方程 ( ) ( ) 0 (2) . y p x y q x y + + = 形如 的微分方程称为二阶齐次线性微分方程
1.一阶齐次线性微分方程解的结构定理4.1如果 yi(x),yz(x)是方程厦(2)y" + p(x)y' +q(x)y = 0的解,则 k,yi(x)+kzyz(x) (ki,k, 是任意常数)也是方程（2)的解
1. 二阶齐次线性微分方程解的结构 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) 0 (2) , ( ) ( ) ( , 4.1 ) (2) y x y x y p x y q x y k y x k y x k k + + = + 定 如果 是方程 的解 则 是任意常数 也是方程 理 的解
定义4.1如果存在常数 k，使得 y(x)= kyz(x),则称 y(x)与 yz(x)线性相关，i否则称(x)与y2(x)线性无关定理4.2如果 Ji(x), 2(x)是方程(2)y" + p(x)y'+q(x)y = 0的两个线性无关解，则 y=k,(x)+kzJz(x)是方程（2)的通解,其中k，k,是任意常数R
1 2 1 2 1 2 , ( ) ( ), ( 4 ) ( ) , ( ) ( .1 ) k y x ky x y x y x y x y x 如果存在常数 使得 = 则称 与 否则称 与 定义 线性相关 线性无关. 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) 0 (2) , ( ) ( ) 4. ( 2 2) , , y x y x y p x y q x y y k y x k y x k k + + = = + 如果 是方程 的两个线性无关解 则 是方 定理 程 的通解 其中 是任意常数
例1 验证 y,=e与 y,=xe都是方程y"－2y'+=0的解，并求方程满足y(0)=1, y'(0)= 2 的解解 : y"-2yi + y, =e* -2e*+e* =0,y2 - 2y2 + yz =(2+ x)e* - 2(1+x)e* + xe* = 0,:与 y, 都是方程 y"-2y'+y=0 的解显然y与,线性无关：方程的通解为 y=CiJ, +C2J2=C,e*+C,xe*将 y(0)=1, y(0)= 2 代入得C =1, C, = 1,：所求解为 y=et +xex
1 2 (0) 1, (0) 2 2 0 , 1 . x x y e y xe y y y y y = = = − = = + 验证 与 都是 满 方程 的解 并求方程 例 足 的解 1 1 1 2 2 2 2 2 0, 2 (2 ) 2(1 ) 0, x x x x x x y y y e e e y y y x e x e xe − + = − + = − + = + − + + = 解 1 2 − + = y y y y y 与 都是方程 2 0 , 的解 1 2 显然 y y 与 线性无关, 1 1 2 2 1 2 , x x = + = + 方程的通解为 y C y C y C e C xe 1 2 将 y y C C (0) 1, (0) 2 1, 1, = = = = 代入得 . x x = + 所求解为 y e xe