第五节函数展开成幂级数
第五节 函数展开成幂级数
一、 泰勒级数如果函数f(x)在x.的某邻域内具有直到n+1阶导数，贝则在此邻域内有f"(x)f(x)= f(x)+ f'(x)(x-x,)+(x - x,)2!f("(x)(x-x)" + R,(x),十n!c(n+1) ()(x-x,)n+1称为f(x）泰勒公式，其中R,(x)=(n + 1)!(在x和x.之间）称为拉格朗日余项
一 、泰勒级数 0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( 1) 1 0 0 ( ) 1 , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ( ), ! ( ) ( ) , ( )= ( ) , ( 1)! ( ) . n n n n n n f x x n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n f f x R x x x n x x + + + = + − + − + + − + − + 如果函数 在 的某邻域内具有直到 阶 导数 则 泰 在此邻域内有 称为 其中 在 和 之间 称为拉格 勒公 朗日余项 式
x.=0 时的泰勒公式变为f"(0)f(x) = f(0)+ f'(0)x +2!f(n)(0)x" + R,(x),+.+n!c(n+1)().n+1称为麦克劳林公式，其中 R,(x)=(n + 1)!（在0和x之间）
0 2 ( ) ( 1) 1 = 0 (0) ( ) (0) (0) 2 ! (0) ( ), ! ( ) , ( )= , ( 1)! ( 0 ). n n n n n n x f f x f f x x f x R x n f R x x n x + + = + + + + + + 时的泰勒公式变为 称为 其中 在 麦克劳林公 和 之间 式
如果函数f(x)在x.的某邻域内具有任意阶导数则称f"(x)f(x)+ f(x)(x-x,)+)(x-x) +..2!f"(x)(x -x,)" +..Xn!为f(x)泰勒级数f(x)在x,=0时的泰勒级数F(0)+ F(0)x + I"(0)'(0) x" +..2!n!称为f(x）的麦克劳林级数
0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) , ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ! ( ) . n n f x x f x f x f x x x x x f x x x n f x + − + − + + − + 如果函数 在 的某邻域内具有任意阶导数 则 为 泰勒级数 称 0 ( ) 2 ( ) =0 (0) (0) (0) (0) 2 ! ! ( ) . n n f x x f f f f x x x n f x + + + + + 在 时的泰勒级数 称为 的麦克劳林级数
定理5.1设函数f(x)在x.的某邻域内有各阶导数则在该邻域内f(x)的泰勒级数收敛到f(x)，即f"(x)(x-xo)f(x) = f(x,)+ f'(x,)(x -x,) +2!f("(x)(x-x,)" +..n!的充要条件是 lim R,(x)=0，x EU(x,)n-80在满足定理5.1的条件下，称f(x)在U(x.）能展成幂级数，展成的幂级数是唯一的
0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ! l 5 im ( ) 0, ( 1 ). . n n n n f x x f x f x f x f x f x f x x x x x f x x x n R x x U x → = + − + − + + − + = 设函数 在 的某邻域内有各阶导数 则在该邻域内 的泰勒级数收敛到 即 的充要条 是 定 件 理 0 5.1 ( ( , , 称 f x U x ) ) 在 能展成 幂级数 展成的 在满足定理 幂级数是 的条件下 唯一的