第三章中值定理与导数应用第一节微分中值定理
第一节 微分中值定理 第三章 中值定理与导数应用
定义1.1如果存在x，的某个邻域 U(x),使得 VxU(x,),都有f(x,)≥f(x),则称x为 f(x)的极大值说明(1)极大值、极小值可以有多个：（2）极大值未必大于极小值：不能出现（3）极值点一定出现在区间内部在区间端点处
0 0 0 0 0 ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) . . 1 1 x U x x U x f x f x x f x 如果存在 的某个邻域 使得 都有 则 称 为 定 的极大值 义 (1) 极大值、极小值可以 ; 说 有多个 明 (2) 极大值未必大于极小值; , . (3) 极值点一定出现在区间内部 不能出现 在区间端点处
费马引理如果 f(x)满足(1)x是极值点H(2) 在x, 可导，则 f(x)=0.罗尔定理如果 f(x)满足（1)在闭区间[a,b|连续(2) 在开区间 (a,b) 可导,(3) f(a)= f(b),则存在E(a,b),使得 f'(E)=0注：一般情形下，定理结论中导数函数的零点是不易找到的.罗尔定理的三个条件缺一不可
注： 一般情形下, 定理结论中导数函数的零点 是不易找到的. 罗尔定理的三个条件缺一不可. 0 0 0 ( ) (1) , (2) , ( ) 0. f x f x x x = 如果 满足 是极值 则 点 在 可导 费马引理 [ , ] ( , ) ( ( ) (1) , (2) , (3) , ( ( , ), ( ) 0 ) . a b a b f x a b f f a f b = = 如果 满足 在闭区间 连续 在开区间 可导 则存 罗 在 使得 理 ） 尔定
罗尔定理的条件与结论1.x=0,1. f (x) =x, 0<x≤1.函数 f(x)在闭区间[0,11 的左端点 x =0 处间断不满足闭区间连续的条件，尽管 f(x）在（0,1)可导，f(0)= f(1)，但显然没有水平切线
罗尔定理的条件与结论 x f x x x 1, 0, 1. ( ) , 0 1. = = ( ) [0,1] , , ( ) (0,1) , (0) (1), . f x 0 f x f f x = = 函数 在闭区间 的左端点 间断 尽 处 不满足闭区 管 在 可导 但显然没有 间连续 条件 水平切线 的
罗尔定理的条件与结论-1≤x<0.一x,2. f(x)=0≤x≤1.x,函数 f(x)在x =0 处不可导，尽管 f(x)在闭区间[-1,1] 连续，f(-1)= f(1),但显然没有水平切线
罗尔定理的条件与结论 , 1 0, 2. ( ) , 0 1. x x f x x x − − = ( ) , ( ) [ 1,1] , ( 1) ( ) 0 1 , . f x f x f x − − f = = 函数 尽管 在闭区间 连续 但显然没有水 在 不可导 平切线 处