第二节一阶微分方程2
第二节 一阶微分方程
可分离变量的微分方程形如dy= f(x)g(y)dx的微分方程称为可分离变量的微分方程通解[-[ (x)t
( ) ( ) . dy f x g y dx = 形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程 ( ) ( ) . dy f x dx g y = 通解 可分离变量的微分方程
例1求微分方程y'=2xy的通解dy = 2xdx,解由y'=2xy得y两边积分得导 In y= x2 + C,即 y= Cet
例1 求微分方程 y xy = 2 的通解. 2 2 , dy y xy xdx y 解 由 = = 得 2 1 两边积分得 ln , y x C = + 2 . x 即 y Ce =
例2买求微分方程cos ydx+(1+e-x)sin ydy =0满足初值条件 y(0)=的解.解 由 cos ydx +(1+e-*)sin ydy=0得sin y dy =dx,1+e-xcos y两边积分得 Incos y= In(1+e*)+Cr即(1+e*)sec y=C,将 y(0)=～代入得 C = 2V2.所求解为 (1+e*)sec y=2/2
cos (1 )sin 0 ( 0 2 ) . 4 x ydx e ydy y − + + = = 求微分方程 满足初值条件 的解 例 cos (1 )sin 0 sin 1 , cos 1 x x ydx e ydy y dy dx y e − − + + = = − + 解 由 得 1 ln cos ln(1 ) , x 两边积分得 y e C = + + (1 )sec , x 即 + = e y C (0) 2 2. 4 y C 将 = = 代入得 (1 )sec 2 2. x 所求解为 + = e y
=()齐次微分方程dxx做换元y=ux即可化为变量可分离微分方程dudx =I(u).u+x
( ) dy y f dx x 齐次微分方程 = ( ). du u x f u d y ux x = + = 做换元 即可化为变量可分离微分方程