《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第九章 无穷级数 9.1数项级数

第九章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质

第九章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念与性质

常数项级数的概念定义1.1设数列uj,u,,…,u,,…，将各项一次相加所得到的表达式u, +u, +...+u, +..80Zun,即简称常数级数，记作称为常数项级数，n=18u,-u, + u, +...+u, +...n=1其中，第n项u称为级数的一般项,或者通项拉

一 、常数项级数的概念 1 2 1 1 2 1 , , , = , n n n n n n u u u u u u u u  =  = + + + + + + + +   所得到的表达式 称为常数项级数 简称常数级数 记作 即 1 2 1.1 , , , , , 定义 设数列u u un 将各项一次相加 , , . 其中 第n u 项 n 称为级数的一般项 或者通项

级数的前n项和S,=u,=u, +u,+..+u,称为级数1简称部分和的前n项部分和，-若部分和数列S！有极限，即存在S，使得S=limSn-28记作u,=S，若则称级数收敛，称S为级数的和，n=1则称级数发散lim S,不存在,An-当级数收敛时，S-S,=un+1+un+2 +…·称为级数的余项，记作r.显然limr,=0.n0

1 2 1 = , n n i n i n S u u u u n = 级数的前 项和 = + + +  称为级数 的前 项部分和 简称部分和. 1 { } , , =lim , , , = , lim , n n n n n n n S S S S S u S S →   = →   若部分和数列 有极限 即存在 使得 则称级数收敛 称 为级数的和 记作 若 不存在 则称级数发散. 1 2 , , . lim 0 n n n n n n S S u u r r + + →  − = + + = 当级数收敛时 称为级数的余 项 记作 显然

例1判定级数+·的敛散性1.22.3n(n + 1)解 S,=一+32.3n(n+ 1)-(-(()=n+1.. lim S. = 1,n-0012+23+级数+….收敛Rn(n + 1)

1 1 1 1 2 3 ) 1 2 ( 1 n n + + + +   + 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 , 1 Sn n n n n n = + + +   +       = − + − + + −             + = − + 解 lim 1, 1 1 1 . 1 2 2 3 ( 1) n n S n n →  = + + + +     + 级数 收敛

80例2 判定级数n=1+2+...＋n＋·.·的敛散性n=1解lim S. = lim(1+ 2+... + n)n→80n-→8n(n + 1)= lim2n-→80=8,8W.级数n=1+2+..+n+...发散

1 2 1 2 n n n  = 例 判定级数 = + + + + 的敛散性. lim lim(1 2 ) ( 1) lim 2 , n n n n S n n n → → →  = + + + + = =  解 1 1 2 . n n n  = 级数  = + + + + 发散