第六节多元函数微分学在几何中的应用
第六节 多元函数微分学在几何中的应用
一、空间曲线的切线与法平面像平面曲线那样，对空间中的曲线也可研究其切线问题国TZ.1P.MKy
一、空间曲线的切线与法平面 像平面曲线那样，对空间中的曲线也可研究其 切线问题． T y x z o P0 M
设空间曲线厂的参数方程为x=x(t), y= y(t), z=z(t) (α≤t≤β)则其切线方程为x-xo-y-yo=3-zx'(t)y'(t)z(t)T= y(x(t,),y(t,),z(t,) 是该切线的一个方向向量，称它为曲线在P，点的切向量
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ), ( ), ( ) ( ) = = . ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), ( )) , x x t y y t z z t t x x y y z z x t y t z t T y x t y t z t P = = = − − − = 设空间曲线 的参数方程为 . 则其 为 是该切线的一个方向 向量 称它为曲线 在 点的 . 切线方程 切向量
过 P, 并以向量 T = y(x'(t),y(t),z(t))为法向量的平面称为曲线I在P.的法平面.曲线I在P,的法平面方程为x'(t,)(x - x,)+ y'(t,)(y -y)+ z'(t,)(z -z,)=0.7x
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( ), ( ), ( )) ( )( ) ( )( ) ( )( )=0. P T y x t y t z t P P x t x x y t y y z t z z = − + − + − 过 并以向量 为法向量的 平面称为曲线 在 的 曲 为 法平面. 线 在 的法平 面方程 y x z o T P0
例13求曲线x =2t, y= 2t2, z=t3 在(2,2,1)处的切线方程与法平面方程解点(2,2,1)对应的参数t =1,x(1) = 2, y'(1) = 4, z(1) = 3,曲线在(2,2,1)处的切线方程为x-2y-27-24法平面方程为2(x - 2) + 4(y - 2) + 3(z -1) = 0,即 2x+4y+3z-15=0
2 3 2 , 2 , (2,2,1) . 例1 求曲线 x t y t z t = = = 在 处的切线 方程与法平面方程 (2,2,1) 1, (1) 2, (1) 4, (1) 3, (2,2,1) 2 2 1 , 2 4 3 2( 2) 4( 2) 3( 1) 0, 2 4 3 15=0. t x y z x y z x y z x y z = = = = − − − = = − + − + − = + + − 解 点 对应的参数 曲线在 处的切线方程为 法平面方程为 即