第三节任意项级数
第三节 任意项级数
一、交错级数收敛的判别法定义3.1如果u,>0，则称福E(-1) , = u, - u, ++(-1) , ..n=l或E(-1)"u, - -u, + u, -...+(-1)"u., +..n=1为交错级数
一 、交错级数收敛的判别法 1 1 1 2 1 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n u u u u u u u u − − = = − = − + + − + − = − + − + − + 或 为交错级数. 3.1 0, 定义 如果un 则称
80如果交错级数定理3.1（莱布尼兹判别法）(-1)"-l u,福n=1满足(l) u, ≥un-- (n =1,2,...);(2) limu, = 0,n->808则级数(-1)"-l u, 收敛,其和S≤u，余项的绝对n=1值 |r,|≤un+1
1 1 1 1 1 1 1 ( 1) (1) ( 1,2, ); 3.1( ) (2) lim 0, ( 1) , , . n n n n n n n n n n n n u u u n u u S u r u − = − → − = + − = = − 如果交错级数 满足 则级数 收敛 其 定理 莱布尼兹 和 余项 绝对 值 判别 的 法
(-1)"-1文2例1的敛散性判定级数nn=1解 (1)u,=二un+1 (n = 1,2,.);n+1(2) limu, = lim- = 0,n-→ nn-(-1)"-12收敛nn=1
1 1 ( 1 1 ) n n n − = − 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 1 (1) ( 1,2, ); 1 1 (2) lim lim 0, ( 1) . n n n n n n n u u n n n u n n + → → − = = = = + = = − 解 收敛
80InnE(-1)"-1例2 判定级数的敛散性nn=l1-lnxInx则f'(x)解 (1)令 f(x)=(x ≥3),三2X:. f(n)> f(n+1)(n≥3),InnInx=0,lim(2) limn-X-→+8nx8Inn. E(-1)"-1收敛Yn=1
1 1 l 2 1 n ( )n n n n − = 例 判定级数 − 的敛散性. 2 1 1 ln 1 ln (1) ( ) , ( ) ( 3), ( ) ( 1) ( 3), ln ln (2) lim lim 0, ln ( 1) . n x n n x x f x f x x x x f n f n n n x n x n n → →+ − = − = = + = = − 解 令 则 收敛