第八节多元函数的极值及其求法
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值定义1设函数z=f(x,y)在点 P,(xo,Jo)的某邻域内有定义，如果该邻域内任何异于P的点P(x,J), 都有f(x,y)< f(xo,yo),则称f(x,y)在P,处有极大值f(xo,o);如果该邻域内任何异于P的点P，都有f(x,y) > f(xo,y),则称f(x,y)在P,处有极小值f(xo,y)使函数取得极值的点P.称为函数的极值点
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ); , ( , ) ( , ), ( , ) ( , ). . 1 z f x y P x y P P x y f x y f x y f x y P f x y P P f x y f x y f x y P f x y P = 极大值 设函数 在点 的某邻域内 有定义，如果该邻域内任何异于 的点 都 定 有 则称 在 处有 如果该邻域内任何异于 的点 都有 则称 在 处有 使函数取 值 得极值的点 称 极 为函数的 小 极值点 义 一 、多元函数的极值
例1 函数z(x,)=x2+ 2在点(0,0)处有极小值X
2 2 例1 函数z x y x y ( , ) (0,0) = + 在点 处有极小值
例2 函数z(x,)= /1-x2 - y2在点（0,0)处有极大值
2 2 例2 函数z x y x y ( , ) 1 (0,0) = − − 在点 处有极大值
定理1（极值存在的必要条件）设函数z= f(x,y)在点(x,J)有偏导数,且在点(x，J)处有极值，则有f.(xo,Jo) = f,(xo,yo) = 0.驻点 使f(xo,yo)=f,(xo,yo)=0的点称为函数z=f(x,J)的驻点
0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) 0. 1 ( ) x y z f x y x y x y f x y f x y = = = 设函数 在点 有偏导数 且 定 极值存在的必要条 在点 处有极值 则有 理 件 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) . x y f x y f x y z f x y = = = 驻点 使 的点称为函 的驻点 数