《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 多元函数微分学及其应用 7.5隐函数微分法

第五节隐函数微分法

第五节 隐函数微分法

设函数F(x,y)在点(xo,yo)定理1（隐函数存在定理）的某邻域内有连续的偏导数 F,(x,J),F,(x,J)，且F(xo,J)=0,F,(xo,Jo)±0, 则方程F(x,y)=0在点(x，J)的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，满足y=f(x,)，且dy _F (x,y)f'(x)=dxF,(x,y)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ), ( , )=0, ( , ) 0, ( , )=0 ( , ) ( ), ( ), . ( , ) ( ) = 1 ( ) = ( , ) x y y y x F x y x y F x y F x y F x y F x y F x dy F x y f x d y y x y f f x F x y x y x   − = = 定 设函数 在点 的某邻域内有连续的偏导数 且 则方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具 有连续导数的函数 满 且 理 隐函数存在 足 定理

定理2（隐函数存在定理）设函数F(x,y,z)在点(xo,o,zo)的某邻域内有连续的偏导数 F(x,y,z),F,(x,,z),F(x, y,z), 且 F(Xo, yo,zo)=0, F,(xo,yo,zo) ± 0, 则方程F(x,,z)=0在点(x,,yo,z)的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z=f(x,y)满足z= f(x,Jo), 且F,(x,y,z)ozFr(x, y,z)OzaxayF(x,y,z)F(x, y,z)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )=0, ( , , ) 0, ( , , )=0 ( , , ) ( , ), ( , ), ( , , ) = ( 2 ( ) x y z z x z F x y z x y z F x y z F x y z F x y z F x y z F x y z F x y z x y z z f x y z f x y z F x y z x F  = =  −  定 设函数 在点 的某邻域内有连续的偏导数 且 则方 程 在点 的某邻域内能唯一确 定一个单值连续且具有连续导数的 足 理 隐函数存在定 函 理 数 满 且 ( , , ) , = . , , ) ( , , ) y z z F x y z x y z y F x y z  − 

例1函数y=f(x)由方程F(x,)=x2+y2-1=0确定, 求f'(x).2xF,(x,Jy) - -解 f(x)=-F,(x,y)2yL

2 2 ( ) ( , ) 1 0 , ( ). 1 y f x F x y x y f x = = + − =  例 函数 由方程 确定 求 ( , ) 2 ( ) . ( , ) 2 x y F x y x x f x F x y y y 解  = − = − = −

例2 设z= f(x,y)是由方程2x2+y2 +z2-2z=0Oz Oz，求确定的隐函数，ax'ay解 令 F(x,y,z)=2x2 + y2 + z2 -2z,azF(x,y,z)4x2x则ax2z - 21-7F(x,y,z)azF,(x,y,z)2yyay2z -21-zF(x,y,z)

2 2 2 ( , ) 2 2 0 , , . 2 z f x y x y z z z z x y = + + − =     例 设 是由方程 确定的隐函数 求 2 2 2 ( , , )=2 2 , ( , , ) 4 2 , ( , , ) 2 2 1 ( , , ) 2 . ( , , ) 2 2 1 x z y z F x y z x y z z z x x F x y z x F x y z z z z y y F x y z y F x y z z z + + −  = − = − =  − −  = − = − =  − − 令 则 解