第五节渐近线曲线的凹凸性及函数图形的描绘
第五节 曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
曲线的凹凸性与拐点一、函数的凹凸性（一)设曲线 y= f(x)在(a,b)内满足店(1) 对任何 x,y (a,b), (+)≤f(x)+ f(x)22则称曲线在（a,b)内是凹的（下凸的）：(2) 对任何 x,yE(a,b), f( +)≥ f(x)+ f(x,)22则称曲线在（a,b)内是凸的（下凹的）：
一、曲线的凹凸性与拐点 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) , ( , ), ( ) , 2 2 ( , ) ; ( ) ( ) , ( , ), ( ) , 2 2 ( , ) y f x a b x x f x f x x y a b f a b x x f x f x x y a b f a b = + + + + 设曲线 在 内满足: (1) 对任何 则称曲线 函数的凹凸 在 内是 (2) 对任何 则称曲 性(一) 凹的 线在 内是 （下凸的） 凸的（下凹的）
曲线的凹凸性与拐点一曲线的凹凸性（二）设曲线 y= f(x)在(a,b)内各点都有切线如果曲线上每一点的切线都在曲线的下方，则称曲线在（α,b)内是凹的（下凸的），如果曲线上每一点的切线都在曲线的上方，则称曲线在（α,b)内是凸的（下凹的）连续曲线上凹凸区间的分界点称为拐点
一、曲线的凹凸性与拐点 ( ) ( , ) , , ( , ) , , ( , ) y f x a b a b a b 设曲线 = 在 内 各点都有切线 如果曲线上每一点的切线都在 曲线的下方 则称曲线在 内是 如果曲线上每一点的切线都在曲线的上方 则称曲 曲线的凹凸性(二) 凹的 线在 内是 （下凸 的） 凸的（下凹的）. 连续曲线上凹凸区间的分界点称为拐点
函数凹凸性的判别法定理（函数凹凸性判别法(1) 若在(a,b)内 f"(x)>0.则 f(x)在(a,b)上是凹的（下凸的）：(2) 若在(a,b)内 f"(x)< 0,则f(x)在(a,b)上是凸的（下凹的）
函数凹凸性的判别法 (1) ( , ) ( ) 0, ( ) ( , ) ; (2) ( , ) ( ) 0, ( ) ( , ) . a b f x f x a b a b f x f x a b 定理(函数凹凸性判别法) 凹的（ 若在 内 则 在 上是 若在 内 则 在 上是 下凸的） 凸的（下凹的）
例求函数y=x2凹凸区间及拐点解 y'= 3x2, y" = 6x,解y"=0得x=0,当x E(-0,0)时 y"<0,函数是凸的;当x (0,+8o)时 y">0, 函数是凹的(0,0）是函数的拐点
3 例1 求函数 y x = 凹凸区间及拐点. 2 解 y x y x = = 3 , 6 , 解 y x = = 0 0, 得 当 x y − ( ,0) 0, ; 时 函数是凸的 当 x y + (0, ) 0, 时 函数是凹的. (0,0) 是函数的拐点