《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_42特征向量

作业步骤！ 例1求矩阵A= 2 -2 的特征值和特征向量 -2 -2 -1 -2 2 ⑦-3九-3) 0 解 E-A 2 -1 -2 λ-1 2 2 入-1 0 九+1人+1 =(2-3)(2-1)(2+1) 饯 ·A的特征值为2=山，2，=1，招3 0 对人=1，齐次线性方程组(=E4=0估素数矩阵 -2 -2 2 -E-A) -2 0 0 2 2 0 00

例1 求矩阵 的特征值和特征向量 1 2 2 作业步骤! 2 1 2 2 2 1 A     = −       − − 解 1 2 2 2 1 2 2 2 1 E A     − − − − = − − − 3 3 0 2 1 2 0 1 1      − − = − − + + = − − + ( 3)( 1)( 1)    + − + 2( 3)( 1)   − − + 2( 3)( 1)   3 0 0 2 1 2 0 1 1     − − + + + 或 ∴A的特征值为    1 2 3 = − = = 1, 1, 3 对 1 = −1 ,齐次线性方程组(－E－A)X＝O的系数矩阵 (－E－A)＝ 222 2 2 2 2 2 2   −−−     − − →     − 1 1 1 0 0 4 0 0 4       →     − 1 1 0 0 0 1 000          

X1=一X2 x3三0 令x2=1得基础解系：X1=(1,一1,0)T .A的属于特征值一1的全部特征向量为 k1,一1,0)(k0) 对入，2=1，齐次线性方程组(E一A)X=O的系数矩阵 -2 (E一A三 -2 2 K二6令x,=一1得基础解系：X=(（山，-1，Y X3三二X2 ,'.A的属于特征值1的全部特征向量为 2025/4/6 k1,-1,1)r(k20)

2025/4/6 ∴A的属于特征值－1的全部特征向量为 x3 ＝0 ∴ x1 ＝－x2 令x2 ＝1得基础解系: X1 ＝(1,－1,0)T k1 (1,－1,0)T (k1≠0) 对 2 = 1 ,齐次线性方程组(E－A)X＝O的系数矩阵 (E－A)＝ 0 2 2 2 0 2 2 2 0   − −     − →     1 1 0 0 1 1 022       →     1 1 0 0 1 1 000           ∴A的属于特征值1的全部特征向量为 x3 ＝－x2 ∴ x1 ＝－x2 令x2 ＝－1得基础解系: X2 ＝(1,－1,1)T k2 (1,－1,1)T (k2≠0)

对2=3，齐次线性方程组(3E一A)X=O的系数矩阵 2 -2-2 10 3E-A) -22 22 2 00 x1=0 令3=1得基础解系：X=(0,一1，山)7 X2三二X3 ∴·A的属于特征值3的全部特征向量为 k(0,一1,1)T(k30)

对 3 = 3 ,齐次线性方程组(3E－A)X＝O的系数矩阵 (3E－A)＝ 2 2 2 2 2 2 222   − −     − →     1 1 1 0 0 0 0 4 4   − −     →     1 0 0 0 1 1 000           ∴A的属于特征值3的全部特征向量为 x2 ＝－x3 x1 ＝0 ∴ 令x3 ＝1得基础解系: X3 ＝(0,－1,1)T k3 (0,－1,1)T (k3≠0)

-33 例2求矩阵A= 3-53 的特征值和特征向量 -64 P124例4-9) -1 3 解 4+2-λ-2 E-A▣ -3λ+5 -3 λ+5 -3 -6 6 -4 6 λ-4 九+2 0 0 -3 九+2-3 =(2+2)2(2-4) =6 0 -4 .A的特征值为九=入2=一2，入=4

例2 求矩阵 的特征值和特征向量 1 3 3 3 5 3 6 6 4 A   −   = −       − (P124 例4－9) 解     1 3 3 3 5 3 6 6 4 E A − − − = − + − − −     2 2 0 3 5 3 6 6 4 + − − = − + − − −   2 = + − ( 2) ( 4) ∴A的特征值为    1 2 3 = = − = 2, 4    2 0 0 3 2 3 6 0 4 + = − + − − −