性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列 式为零 验证我们以4阶行列式为例 12 13 14 11 12 13 14 2 23 24 k 2142a23a =k0=0 32 33 34 31a 32 32 34 k13
11 12 13 14 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a 验证 我们以 4阶行列式为例. 性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零． 21 22 23 24 21 22 23 24 31 32 33 34 11 12 13 14 11 12 31 32 33 34 1 4 3 1 k k 0 0 ka k a a a a a a a a a a a a a a a a ka ka a a a a a = = ⋅ =
性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 例如 2+b2a3 D +b2 a2,a2,+ 31 32 2 33 12 13 12 则D 2 32 33 32
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和 的元素都是两数之和, 例如： 12 12 22 22 11 13 21 23 31 3 32 32 3 a a D a a a b a b a a a b + + = + 31 3 32 32 3 则 11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 12 12 22 22 32 3 31 3 2 3 a a a a D a a a a b a b a b a a a a a = +
验证我们以三阶行列式为例 12 +6 D a+b 2 23 32 +b ∑ t(PiP2P3 P1 (a212+b2n2) P2 P2 P3 P1p2P3 =∑(-1ynpa1n2n3n+∑ (P1P2P3) P12P23P3 Ppap Pip 12 1 2223 22 31a2 32 33 31 32
12 12 22 22 11 13 21 23 31 3 32 32 3 a a D a a a b a b a a a b + + = + 1 2 3 2 2 ( ) 1 3 ( 1) ( ) p p t p p p p p = − ∑ a a a b + 验证 我们以三阶行列式为例 三阶行列式为例. 1 3 2 2 1 2 3 1 3 2 2 ( 1) ( ) p p p p p p p = − ∑ a a a b + 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 2 2 1 2 3 ( ) ( ) 1 3 2 1 3 2 ( 1) ( 1) t p p p t p p p p p p p p p p p p p p p = − + − ∑ ∑ a a a a b a 11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 31 3 12 12 22 22 3 32 2 3 a a a b a a b a a a a a a a a a b a = +
性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变 备注:以数k乘第行(列)加到第行(列)上,记作 ;+, (c; + kc: 验证我们以三阶行列式为例.记 12 13 a11 12+ka13 13 D=a2 a22 a23, D1=a21 22+ka23 23 312 a31 a32+ka 则D=D
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去 对应的元素上去，行列式不变． 验证 我们以三阶行列式为例 三阶行列式为例. 记 备注：以数k 乘第 行（列）加到第i行（列）上，记作 ( ). i j i j r kr c kc + + j 则 1 D D= . 12 22 11 13 21 23 31 3 32 3 , a a D a a a a a a = a 11 12 13 1 21 22 13 23 33 23 31 32 33 a a a D a a a ka ka a a a ka + + = +
二、应用举例 计算行列式常用方法:利用运算r+k把行列式化为 上三角形行列式,从而算得行列式的值 1-12-31×3 33-79 5 例1D=204-21 3-57-146 4-410-102
1 − 1 2 − 3 1 二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值 ，从而算得行列式的值． i j r kr + × 3 例１ 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 3 3 7 9 5 1 1 2 3 1 − − − −− − − − − − D = × 3⊕