性质4%ELV，则V的任一子空间是%一子空间V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间V证明：设W是V的任一子空间，对任意的αEW，由子空间的定义可知，%a=kαEW,故命题成立性质5&EL(V),W是α-子空间，f(x)EP[x]，则W是f()一子空间证明： 据题设，WW→W=(W)_W_W→ "WcW. 取 f()=ann +..+a+a.8 -VEeW,f()s=a,nE+..+a+a.eW - W是f()一子空间口
性质4 K ∈L(V), 则V的任一子空间是K －子空间. ➢ V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间. 证明：设W是V的任一子空间，对任意的α∈W, 由子空间的定义 可知，Kα= kα∈W, 故命题成立. 性质5 A ∈L(V), W是A －子空间，f (x)∈P[x], 则W是f (A ) －子空间. 证明; 据题设， W W W ( W) W W 2 A A A A A → = → A n W W . 取 n 1 0 ( ) n f a a a A A A E = + + + → n W, ( ) W n 1 0 = + + + → f a a a A A A E W 是 f ( ) A − 子空间. □
性质6Wi，W,是&-子空间，则W.+W.，W.nW仍是&一子空间、证明：对任意的a,+a,EW,+W2,(i+α)=a+2EW,+W2.对任意的aEW,nW2,EW,且EW2,故&EWnW，，所以命题成立性质7ELV，则的属于特征值入的特征子空间V是&-子空间证明：对任意的EV,-EV→V,是-子空间、性质8&ELV，则有一维&一子空间的充要条件是：存在EP,对任意的(0)EW,-入,且 W=L()
性质6 W1 , W2是A －子空间，则 W1+W2 , W1∩W2仍是A －子空间. 证明： 对任意的α1+α2∈W1+W2，A (α1+α2 ) = Aα1+Aα2 ∈W1+W2 . 对任意的α∈W1∩W2，Aα∈W1且Aα∈W2，故 Aα∈W1∩W2，所以命题成立. 性质7 A ∈L(V), 则A 的属于特征值λ的特征子空间Vλ是A－ 子空间. 证明： 对任意的ξ∈Vλ , Aξ=λξ∈Vλ → Vλ是A－子 空间. 性质8 A ∈L(V), 则A 有一维A－子空间的充要条件是：存在 λ∈P, 对任意的ξ(≠0)∈W, A ξ=λξ,且 W= L(ξ)
87.7不变子空间第七章线性变换该性质即说：W是&的一维不变子空间的充要条件是：W是&的某特征值2的一维特征子空间V,证明：必要性设W是&α-子空间，dimW=1→取W的基， 即W=L() → &EW,即存在入EP，使得=入成立。充分性设=(+0)→ L()=W显然是V的一维子空间,对任意的αEW，α=x一→应有= (xE) = X = x(E) =(x) = αEW ,即W是一维&一子空间
➢ 该性质即说：W是A 的一维不变子空间的充要条件是： W是A 的某特征值λ的一维特征子空间Vλ . 证明： 必要性 设W是A －子空间，dimW = 1 → 充分性 设Aξ=λξ (ξ≠0) → L(ξ) = W显然是V的一维子空间， 第七章 线性变换 §7.7 不变子空间 取W的基ξ，即W = L(ξ) → A ξ∈W, 即存在λ∈P, 使得 A ξ= λξ成立. 对任意的α∈W，α= xξ → 应有 Aα= A (xξ) = xAξ = x(λξ) =λ(xξ) = λα∈W , 即W是一维A －子空间
87.7不变子空间第七章线性变换二线性变换在子空间上的限制J(&/W)定义&EL(V),W是一子空间，规定&I W: W-W, &I W(a)= &a(aEW)称/W为&在W上的限制VVIWWW
二 线性变换在子空间上的限制（A｜W） 定义 A ∈L(V), W是A －子空间，规定 A｜W：W→W， A｜W(α) = A α(α∈W), 称A｜W为A 在W上的限制. A A｜W V W V W 第七章 线性变换 §7.7 不变子空间