-1.概率的定义设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一事件 A赋予一个实数,记为 P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(·)满足下列条件：(1)非负性： 对于每一个事件 A,有 P(A)≥ 0;(2)规范性： 对于必然事件 S,有 P(S) =1;(3)可列可加性：设A,A，是两两互不相容的事件,即对于i≠j,A,A,=の,i,j=1,2,,则有P(A, UA, U..) = P(A)+ P(A)+ .:概率的可列可加性沈阳师范大学
, ( ) : , ( ) , , . 件 的概率 如果集合函数 满足下列条件 的每一事件 赋予一个实数 记为 称为事 设 是随机试验 是它的样本空间 对于 A P A P A E S E (1)非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P(A) 0; (2)规范性 : 对于必然事件 S,有 P(S) = 1; 事件 即对于 则有 设 是两两互不相容的 , , , , 1, 2, , (3) : , , 1 2 i j A A = i j = A A i j 可列可加性 P(A1 A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) + 概率的可列可加性 1. 概率的定义
H2.概率的性质(1) P(O) = 0.证明 A, =(n = 1,2,.),-则 UA,=O,且 A,A,=O, i± j.n=1由概率的可列可加性得8=ZP(A,)(UA,P(O) = Pn=1n=1XZP(0)n=1= P() = 0.P(O) ≥ 0沈阳师范大学
(1) P() = 0. 证明 A = (n = 1,2, ), n , , . 1 A A A i j n i j n = = = 则 且 由概率的可列可加性得 = = n n P P A 1 ( ) = = 1 ( ) n P An = = 1 ( ) n P P() 0 () = 0. P 2.概率的性质
(2)若A,A,,A,是两两互不相容的事件,则有P(A UA, U...UA,)= P(A)+ P(A)+ ..-+ P(A,)概率的有限可加性证明1 令 An+1 = An+2 =.= O,=→A,A, =O, i± j, i,j=1,2,...由概率的可列可加性得88P(A UA, U...UA,) = P(U At) = ZP(At)= ZP(At)+ 0k=1k=1k=1= P(A)+ P(A)+...+ P(An)沈阳师范大学
概率的有限可加性 证明 , 令 An+1 = An+2 = = A A = , i j, i, j = 1,2, . i j 由概率的可列可加性得 ( ) P A1 A2 An ( ) 1 k k P A = = = = 1 ( ) k P Ak ( ) 0 1 = + = n k P Ak ( ) ( ) ( ). = P A1 + P A2 ++ P An (2) 若A1 , A2 , , An是两两互不相容的事件,则有 ( ) ( ) ( ) ( ). P A1 A2 An = P A1 + P A2 ++ P An
国心41(3)设 A,B为两个事件,且 AC B,则P(A) ≤ P(B), P(B- A)= P(B)- P(A)证明因为ACB,所以B=AU(B-A)BA又 (B-A)NA=O,得 P(B) = P(A)+ P(B- A)于是P(B- A)= P(B)-P(A)又因P(B-A)≥ 0, 故 P(A)≤P(B)沈阳师范大学
( ) ( ), ( ) ( ) ( ). (3) , , , P A P B P B A P B P A A B A B − = − 设 为两个事件 且 则 证明 B A 因为 A B, 所以 B = A(B − A). 又 (B − A) A = , 得 P(B) = P(A) + P(B − A). 又因 P(B − A) 0, 故 P(A) P(B). 于是 P(B − A) = P(B) − P(A)