山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 微分方程 第二节 一阶微分方程及其解法

第六章 微分方程 高等数学少学时 例3放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成 其他元素，铀的含量就不断地减少，这种现象叫做衰变.由原 子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正 比.己知t=0时铀的含量为Mo,求在衰变过程中铀含量M() 随时间t变化的规律. 解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt 由于轴的衰变速度与其含量成正比，得微分方程为 dM =-λM dt 其中入是正的常数，叫做衰变系数 北京邮电大学出版社 6

例3 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成 随时间 t 变化的规律. 其他元素，铀的含量就不断地减少，这种现象叫做衰变. 由原 子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正 , 比 M0 . 已知t = 0 时铀的含量为 求在衰变过程中铀含量M (t) 由于铀的衰变速度与其含量成正比, . d d t 解 铀的衰变速度就是M M ( t )对时间 t 的导数 M t M   d d 得微分方程为 其中 是正的常数，叫做衰变系数

第六章微分方程 高等数学少学时 dM 将方程分离变量，得 =-λdt M 两端积分，得 In M=-At+InC M 得微分方程通解为 M=Ce-A Mo 将初始条件M,=M代入上式，得： O 1 图6-2 C=Ce=Mo 所以铀的衰变规律为： M=Me-Mr 北京邮电大学出版社

两端积分，得 ln M   t  lnC 得微分方程通解为 t M Ce   0 0 C  Ce  M 所以铀的衰变规律为: t M M e   0 将初始条件M t0  M0代入上式，得: 将方程分离变量，得 t M M d d   M M0 O t 图6-2

第六章 微分方程 高等数学少学时 例4水池中有1000L溶有污染物的水溶液，其中污染物为15kg. 现在准备用清水冲洗.计划每分钟注入清水5L,混合均匀的溶液每 分钟流出4L.问1小时后水中污染物还剩多少？ 解令M(t表示水中污染物的含量，V(t)是池中溶液的体 积溶液流出的速度为 =5-4=1,V(t)=t+C,由V(0)=1000, V(t)=t+1000,于是每1分钟流出的污染物为 4M(t) 1000+t 考虑在 区间t,t+△ 内水中污染物的变化，这一变化是由流入和流 出所引起的.根据题意有等式 北京邮电大学出版社

例4 水池中有1000L 溶有污染物的水溶液,其中污染物为15kg. 现在准备用清水冲洗.计划每分钟注入清水5L,混合均匀的溶液每 分钟流出4L.问1小时后水中污染物还剩多少? 解 令Mt表示水中污染物的含量,V(t)是池中溶液的体 积.溶液流出的速度为 5 4 1, ( ) , (0) 1000, d d    V t  t C V  t V 由 V (t )  t  1000 ,于是每1分钟流出的污染物为 . 1000 4 ( ) t M t  考虑在 区间 [t,t  t] 内水中污染物的变化，这一变化是由流入和流 出所引起的. 根据题意有等式