第9卷第2期 数学学报 Vol.9,No.2 1959年6月 ACTA MATHEMATICA SINICA une,1959 关于解析函数的一个唯一性定理及其应用 鄒新是 (武汉大学) §1.在近代解析函数論中边界值的唯一性定理有許多的研究，其中有我們所习知著 名的H.H.puBanoB氏唯一性定理，即： 若D是某一可求长約当曲殺T所范围的丙域，而()是D丙的牛純函数，如在T上 存在某一測度大于零的集E,对E。的任一点上，()的角形边界值为雾.則必致 f()三0于D内. 同时，卢洵(y3)与普里瓦洛夫还指出：存在有单位圓域内非常数的解析函数，而 在一个正测度的集E(E.∈|{=1)上具有等于零的射形边界值.除此之外还有一个很 有用的Koebe氏定理.即： 若(x)是单位圓域内的有界解析函数，井股()是圓环：0<P<|<1中的一系 列的約当曲移，殷，是入，的两端，→a,”→b,a和b是'=1上的不同点.假 如()在n上-一致收歙于0(n→+∞时)，則必致f()三0于引-|<1内. 本文的目的，就是要給出与Koc氏定理相类似的另一个僬一性定理，井給出它的一 个应用。 §2，現在赴我們首先証明如下： 定理1：殷代)是单位圃域内的解析函数，且在单位圓域的两个牛径0A,及OB上 ()为有界，且在|<1丙存在某一簡单曲餐序列{3}，的二端点，”分别在牛径 0A及OB上，且除入.的二端点外，入.全在扇形△（△以O为頂点，及∠AOB为頂角，并 以圓孤AB为扇形孤)内.·假如（入}当”→+∞时以圓弧AB为极限，井股代）在入 上的积分存在，且满足 B inJiela1=0, 則必致f()三0于|<1丙. 証：首先註我們証明()在扇形OCD(如图所示) 丙为有界.为此只需証明(x)在周形OCD内任一点o上 有一不依賴于的某一固定上界Mo<十∞即可，事实上， 骰0是扇形OCD丙的任一固定点，而0<≤！，因为 根据定理的条件：（八}以囿弧AB为极限，故必存在某一正 整数N。(N,只依賴于o),而致|z|>|l,Eλn当n≥N时.依Cauchy公式可得： f)=1)d6,当n兰N时； 2πiJrn6-o ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 卷 第 期 9 2 年 月 9 9 5 6 1 数 学 学 报 o v l . 乳 o. N C C C 人 A A H A I 人 I I A M M S E N T JT T u n e , 1 9 5 9 关于解析函数的一个唯一性定理及其应用 都 新 堤 (武 汉 大 学 ) 马1 . 在近代解析 函数箫中边界值的 唯一性定理有部多 的研究 , 其 中有我俩所习知著 名的 H . H . n p H aB IJ oB 氏唯一性定理 , 郎: 若 刀 是某一可求长豹当 曲拔 r 所范围的 内域 , 而 f ( 二 ) 是 D 内的半钝函数 , 如在 r 一 上 存在 某一测度大于零的 集 凡 , 对 凡 的任一点 而 上 , f (习 的 角形 边界值为 零 . BIJ 必致 找习 三 。 于 D 内 . 同 时 , 卢询 (几 y 3“ H ) ` 与普里瓦 洛夫还 指出 : 存 在有单位 圆域 内非常数的解析函数 , 而 在一个正测度的集 凡 (几 ( }习 一 l) 上具有等于零的射形边界值 . 除此之外还有一个很 有用的 K oe b e 氏定理 . 郎 : 若 f ( 。 ) 是单位 圆域 内的有界解析函数 , 并股 {凡} 是圆环 : o < p < } 。 }< 1 中的一系 列 的的当 曲校 , 毅 ` , 二 :’, 是 久 。 的两端 , : 二、 。 , 。 井病 石。 。 和 b 是 } 君 1 二 1 上的不同点 . 假 如 f ( z ) 在 久 。 . 上一致收戴于 0( 。 叶 + co 时 ) , 则必致 f ( 君 ) 三 。 于 】川 < 1 内 . 本文的 目的 , 就是要抬出与 K 。 。 比 氏定理相类似的 另一个唯 一性定理 , 并始出生的 一 个应用 。 .92 砚在 能我俩首先征明如 下 : 、 _ , 定理 I : 殷 了(的 是单位圆域 内的解析 函数 , 且在单位 圆域的两个半径 。 妞 , 及 O B 上 式 “ ) 为有界 , 且在 } “ ! < 1 内存在某 一筒单曲技序列 {又 。 } , 从 的二端 点 式 。 式 分别在拼径 0 汉 及 O B _ . E , 且 除 久 二 的二端点外 , 又 。 全在扇形 △ ( △ 以 。 为顶点 , 及 艺 汉 O B 为 顶 角 , 并 以圆 弧 A B 为扇形 弧 ) 内二 假如 {丸} 当 , ` + O 时以 圆弧 A B 为极限 , 并殷 f (幻 在 凡 上的积分存 在 , 且 满足 恶 { , , , , , ( · , , , “ · , 一 。 · lAJ 必致 f (习 三 。 于 } : ! < 1 内 . ` 、 洲 / 、 、 . 靛 : 首先赴我俩靓明 f ( 君 ) 在扇形 o c 刀 (如 图所示 ) 产 z、 、 内为有界 . 为此 只需征明 f (幻 在扇形 o C D 内任一点 为 _七 有一不依辍于 : 。 的某一固定 一 E界 M 。 < 十 O 郎可 , 事实 上 , 2 2 、 、 一 殷 确 是扇形 O C D 根据定理的条件 : 内的任一 固定点 , 而 。 < 而 攫 }引 , 因 为 {瓜} 以 圆弧 A B 整数 N 。 ( N 。 只 俄辍于 : 。 ) , 而致 卜} > 】 二。 I , 君 〔 又 。 当 n 》 N0 时 . 为极 限 , 故必存 在某一正 依 C a u e h y 公式可 得 : `( “ , 一 六{ r 。 f ( C)一 J` , 当 。 多N 。 时 一 肠
2期 邹新堤：关于解析函数的一个唯一性定理及其应用 115 此处之「。为直钱O。,O:及曲餐λ，所合成的簡单明曲辍。从此容易看出： d IK1≤2+∫Kdc1,n≥No: 2πJw15-'o (A) 6π 的 此处的M是f()在OA及OB上的上界，而8是OC及OD上的二部分钱段：0<0≤ {=<1,:∈OD,OC与直辍OB及OA的距离。且容易看出当n≥N。时与任一入n的 距离大于某一固定的正数，故从（A)可得： 便 1l≤2+[l(l5l,n≥N.0 ·(B) 6π 2π6。J 在（®）中合n→+0，且根据定理的条件，(5)G1一0，当m一+∞时，故得 1K≤兴 W 而可为爾形OCD丙任何一点，只须|≥>0，而当x|≤r时()显然有界，因 此(：)在扇形OCD内为有界.故依法都氏定理(：)在圓弧CD上的角极值几乎处处存 在，設此部为扎)，分 w(0)=inE.{fre0l,e0∈CD而Rn→1当n→+o∞时. 0<R<1 而且容易看出： 风 lim w()=If(eio) 标++的 在圓弧CD上几乎处处成立，而 裤 i)ds0. 纳 同时依勒具格氏定理得知： (0)0=Ife)40=0. 触 故所以()在圓孤CD上几乎处处为零。故根据普理瓦洛夫唯一性定理得知f(:)三0 于<1丙，証毕. 現在我們将上道定理轉化到更一般的区域时的情形。 定理I:骰(=)是区域D内的至純函数，而D是某一可求长約当曲钱T所范围的 内域，殷T由曲段T及T”粗成，且及”皆以4，b为其二端点者.假如()在（包 括端点)上速辙，且有一簡单可求长曲餐序列()，入，除其二端点，皆落在'上外 华 企属于D丙.井設(}以曲餐”为极限，井致 N lim,f()l川d:l=0 者。則必致(=)三0于D丙. w 证：設”=p(w)是单位圓丙的单叶全純函数，p(心)保留地映射单位圆域于D 上，井致上半单位圓周映照于”者.則(，)的原象()将以上牛单位圓周为极限，且 mJtp(w]p'(w)dol=0. ?1994-2017 China Academic Jourrial Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
期 邹新堤 2 : 关于解析函数的一个唯一性定理及其应 用 f 此处 之 , 为 直技 。 蛛 , 0 荞 及 曲接 凡 所合成的筒 单 阴 曲接 . 从 此容易看 出: ! f ( : 。 ) }《 粤 + 李 (一l葬卑共} 己; ! , , ) N 。 ; o 汀 艺汀 夕孟, {夸 一 而 l ( A ) 此处 的 M 是 f (习 在 O A 及 O B _ E 的上 界 , 而 占是 o c 及 O D . 上的二部分援段 : o < 0r 《 ! : ! < 1 , 二涟而 , 而 与直拔 丽及 丽 的 距离 . ` 且容易看出当 , ) N 。 时 : 。 与任一 入 。 的 距离大于某一固定的 正数 占 。 , 故从 ( A ) 可得 : , , (。 , ,` 罢 + 赢 { , 。 ,` (` , , , “ ` ,二 ) N 。 · 。 ( B ) 在 ( “ , 补 移 一 + 二 ·且` 据定理的 条件 { , , . , (: ) ! ! d: `一 。 , 当 一 + 。 . “寸 , 故 得 &lf( ” ` 器 . 砂 丫、 、 而 介 可 为扇 形 o c D 内 任何一点 , 只 须 】孔 }) r0 > 0 , 而当 卜}成 0r 时 f ( 君 ) 显然有界3 因 沪 洲 洲 , 、 、 了~ 、 此 尹(习 在扇形 。 c D 内为有界 . 故恢祛都氏 定理 了(的 在圆弧 c D _ 五的角极值几乎处处 存 在 , 殷 此色n为 f ( 。 `口 ) , 合 尸 · ( o ) 一 。 <彩 、 : } f ( r “ , ) l一 `“ 〔 “ D 而 “ 一 ` 当 n 、 + co 时 · 而且 容易看出 : 少牛` ` 二 ( o ) = if ( e ` , ) l 在 圆弧 C D . .L 几乎处 处成立 , 而 ,; m (八 。 . ( 8 ) d s 成 11 : n , 。 }了( ” ) } }声“ 卜 0 · 同时依勒具格 氏 定理得知 : l i l n 湘 砷+ . 八 。 , ( 8 ) 澎8 = 品 If ( “ 口 ) } d o = 0 故 所以 袱 。 ’,e) 在 圆弧 c D 上儿乎处 处为 零 . 故根据普理互 洛失唯一性定理得知 了(习 三 。 于 }川 < 1 内 , 征毕 二 ` 交 现在我佣将上述定理褥化到更一般的 区域 时的情形 . 定理 犷 : 没 f ( 二 ) 是区 域 D 内的全钝函数 , 而刀 是某一可求 长豹当 曲壮 厂所范 围的 内域 , 殷 r 由 曲彼 尸 及 ’r 粗成 , 且 ’r 及 ’r 音么 a , b 为其二端点者 . 假如 f ( 。 ) 在 ’r (包 括端 点 ) 一卜速擅 , 且有一筒 单可求扮曲修序列 {久 , } , 凡 除其二端点 蛛 , 式 省落在 ’r 上外 全属于 D 内 . 并殷 {陈} 以 曲袋 ’r , 为极限 , 并致 恶{ , . }, ( · , , , d · , 一 。 者 。 lAJ 必 致 厂(幻 三 。 于 D 内 . 征 : 投 二 二 甲 ( , ) 是单位 圆 内的单 叶全钝函数 , 劝( , ) 保留 地 映射单 位 间域于 D 上 , · 并致上半单位图周映 照于 ’r , 者 . 则 {丸} 的 原象 {从 } 将以上半 单位 囿 周为 极 限 , 且 ” 呱 I , : ,`〔, ( 。 力, ’ ( 。 , ,“ 。 , 一 。 ·
116 数 报 9播 我們現在要証明单位圓丙的全純函数： [p(w)]p'(w)在扇形△（△以0为頂点，井以上牛圓 周内的某一圓弧e0e0,及Oe,0e:所围成的内域) 丙为有界。 事实上，取(R)是某一单調上昇的正数序列并具 如下的性质：i:R,→1，当n→+∞时，i:对每 R,以O为中心R,为牛径作牛圓C.而C.全在下牛平 面丙，且自C的某一点P起沿C,的二方向进行所得 与的第一交点分别为P,及2n,而P及2皆在下 牛圓内者則依Cauchy公式可得 Iwl=1 ·1f[p(w)]p'(o)l≤ ≤是，】+ +1 2πJ# w-wol +⊥lp(R,e0]p'(RcolR,d0 2元Jg Rne0一} R.=,g= (A) 此处是△内的任一固定点，而≤”.上式中合n→十，則右边第一项将趋向 于0，井注意p'(w)∈H1族，而利用黎斯定理(r1.2,§4.4.1)可知： =发e(R.ipRe1-e1p(eI101≤ [f[p(R,e0)]p'(Re0)1-lp'(e)fp(R,e)j10}+ +∫g【1p'(eo1(p(Re1l-Ip(eI1a0=o. 故从(A)可得： namlpnn<teeipc91a8+. (B) 2π6 此处的6是扇形△与下牛单位圓周的距离，而a是大于0.的某一常数，而因为[p()] 在[π，2π]上連徽，p'(w)∈H1族，故(B)右边是某一常数，故知[P(w)]p'(w)川在 △内有界。而父因为 imJlflp(o)]p'(w)1idm=0, 故根据定理I得知：[p(w)]p'(w)三0于|wl<1内.因此(=)三c于D内.定理 由是配毕。© 根据定理I,我們立刻得出如下解析函数的唯一性定理，即 定理Ⅱ：設区域D,T及T',T”,(}等皆同于定理I*,若()，(x)是D内的二 个解析函数，且在'（包括端点）皆为速續。且在{，)上，满足关系 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
学 学 报 孟 , , 6 丫ù临趁社一抽| 一必 久, 寻 U了 I二 1 我仍现在要征明 单位 圆内的全钝函数 : f 【甲 ( 。 )] 甲 ’ ( , )在扇形 △ ( 。 以 。 为顶 点 , 并么 上半 圆 周 内的 某一圆弧 石众 ” : 及 瓦 `el , 瓦” : 所围成的 内域 ) 内为有界 . 事实上 , 取 {凡} 是某一单 稠上异的正数序列并具 如下的 性盾 : :i R , ` 1 , 当 , ` + 。 时 , 五: 对每一 R 。 以 。 为 中心 R 。 为半径作半圆 C 。 而 C , 全在下 半平 面 内 , 且 自 c 。 的某一点 P 起沿 c 。 的二方向进行所得 与 弋 的第一交点分别为 P 。 及 Q 。 , 而 尸二 及 Q , 告在下 半圆 内者 则俄 C au c 场 公式可得 : · !f [中( 。 。 ) ]甲 ` ( u, 。 ) ! ( , i C }f [甲 (讼 ) ]甲 ’ ( , ) 1 , J _ ~ ! 二 , 弓尧 — l , — {肠 子引 1 . + 了 2 尤 J 孟。 ! 留 一 川。 1 , g }r [中( 双 。 。 `e ) 1中 , ( 尺 。 。 ` , ) ! 及。 J e }天 , 。 ` e 一 构 l 此处 。 。 是 么 内的任一 固定点 , 而 氏 ( ’;0 . 尸。 一 。 “ 二 , 口 ` 一 。 ` , ; , ( 人 ) 上式中令 , 、 + o , 则右边第一项将趋 向 于 。 , 井注意 训 ( 。 ) ( H l 族 , 而利用黎斯定理1[] ( rIJ · 2 , 5 戒 4 . 1) 可知 : ” 呱 }{:{ : } ,。, ( ; 一 , , , , ( : 一 , , 一 “ 〔, (一 , ,甲 ’ ( · ` ” , , ` “ ,` ’ 、 、 {]l:) 〔 },〔, ( * , 一 )〕, : ; 一 )卜 , , , (一 , ,〔, ( 、 一 , , , , ` 小 + }{:{ 「} , , (一 ) : ( `,: , ( R一 , , , 一 ,,〔, (一 , , , , , ` ” 1一 故从 ( A ) 可 得 : }f [甲 ( t。 。 ) ]中 ’ ( 。 。 ) l( }f [甲 ( e ` e ) ]中 ` ( e` e ) } J S + 。 阮 ù广., 份 今 2 尤占 ( B ) 此处 的 占 是扇形△ 与下半单位 圆周的距离 , 而 a 是大于 0 . 的某一常数 , 而因 为 f[ 甲 ( 。 萝口 ) J 在 [ 二 , 2 二 ] 上速值 , 甲 ` ( 留 ) 〔 月; 族 , 故 ( B ) 右边是某一常数 , 故知 !f [甲 ( 。 ) ]中 ’ ( , ) } 在 △ 内有界 . 而又 因为 悠{ , ; “ 〔, ` 。 , , , ’ ( 。 , , , ` 。 , 一 ” · 故恨据定理 工得知 : f[ 中 ( ,t ) 〕训 (。 ) 三 。 于 }川 < 1 内 . 因此 f (的 三 。 于 D 内 . 定理 由 是舰毕 . 二 根据定理 护 , 我俩立刻得 出如下解析函数的唯一性定理 , 郎 定理 n : 毅 区域 D , r 及 ’r , ’r , {久启 等智 同于 定理 *I , 若 fl (幻 , :f( 的 是 D 内的二 个解析 函数 , 且 在 ’r (包 括端点 )省为速擅 . 且 在 {凡} 上 , 满足关系
2期 邹新堤：关于解析函数的一个唯一性定理及其应用， 117 lim If()-2()dz=0, nto Jin 则必致f()三(=)于D内. §3.在这一节里，訨我們給出定理Ⅱ的一个有趣的应用。即有： 定理III:設区域D,「，T',T”及)皆同于定理，而f()为在D内的全杶 函数列，且每一f.(=)在'連續井为一致有界。即： |fn()l≤C,当∈'时(n=1,2,…), 若存在某一正数序列{：}→0，当n→十∞时。且对于任一固定的k及λ，必有一正弊 数N存在，当m,n≥N时，有 3 Jlf(e)-1()id=≤ 則必致{f()在D内广义一致收歛. 证：首先赴我們証明在定理中的条件下，(f(+)】}在D丙广义一致有界。事实上 殷G1是属于D内的任一已定的阴区域.由于(，}→"”，故必存在某一正整数，当 n≥，时，G1全属于由λm及T'的一部分曲後所粗成的一个簡单可求长閉曲辍T所范围 的丙域，骰G1与，的距离为dn,則当n≥o时dn≥d>0,而d是某-常数，故依 Cauchy強定理得知： .aw-tnew1=是J2a)i2s ￥一0 南 ≤ajnO-a0a+a.92-al1a, 8一ol 喷 此处之n≥，而m,p則为任何正整数，而为G的任一定点，故{：一0≥4，当：∈T 或入.时.同时根据定理所給的条件得知，对于固定的n及En,必存在某一正整数N,当 国 m≥N时，有： N /(o)-fm+n()≤2ML+a 2rd,2d 而則为'之长度，在上式中取m=N,則得： 配 1w(l≤1(1+2Mt+,p=1,2,…. 2πa 而|fx(g)川在G,上显然有界，故知{()在G1上一致有界，而在D内为广义一致有界， 从此得知(f(x)为D丙的正族. 我們现在只需要証明{什(：)在D内每一点上为收歙即可，因为再极据正族理输中 的維他利定理則可得到本定理的証明. 現在我們用反証法，設(f()》在D内井不在每一点上收歛，而合即为其中的一 点，則我們可从(f()》中选出二子函数列：(f(x)》及(f:(:),而使它俩在某一包合 典 而垒属于D的内域之阴区域上分别地一致收歙于f()及f,).而()卡f(), 且不失証明的真实性，我們可分≤k(原=1,2，··).井行 食 F()兰fn(知)-fk(x), 則(F,(:)}在D内广义一致收敛于全純函数f(:)一(：户枚我們只需证明{P(=)》 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
邹新堤 关于解析函数的 一个唯一性定理及其应用 : 忽 { , 。 . , 1 ( · ) 一 , 2 ( · ) } { J · ! . 一 。 , 只j 必致 f l ( 二 ) 三 f Z ( 二 ) 于 刀 内 . 沁 . 在 这一节 里 , 赴我佣抬 出定理 亚 的一个有趣的 应用 . 郎有 : 定理 m : 毅 区域 D , r , ’r , ’r 及 仁 , } 告 同于定理 户 , 而 {九(习 } 为 在 D 内的全钝 ’ 函数列 , 且每一 人(的 在 ’r 速疲井 为一致有界 . 郎 : }f 。 ( : ) l《 c , 当 扮〔 r ` 时 ( n = i , 2 , … ) , 若存在某一正数序列 {气 } 一 0 , 当 , , 、 + O 时 。 且对于任一固定的 气 及 从 , 必有` 正 整 黛N 存 在 , 当 二 , 移 ) N 时 , 有 「 { , * ,, 。 ( · , : ` · ( · , , , ` · ,` 一 lnJ 必致 {人 (的 } 在刀 内广义一致收敛 . 征 : 首先能我俩征 明 在定理 中的 条件下 , {凡(的 } 在 D 内广义一致有界 . 事实 . 卜 毅 乙, 是属 于 D 内的 任一 已定的 阴 区域 . 由于 {久 n } 、 ’r , 故必存在某一正整数 , 。 , 当 。 ) 。 。 时 , 云; 全属 于由 久 。 及 ’r 的一部分曲修所粗成的一个荫草可求长阴 曲找 几 所范围 的 内域 , 殷 云: 与 几 的距离 为 心 , lRJ 当 万) , 。 时 d 。 》 d > o , 而 己 是某一常数 , . 故依 c ~ 物 孩 定理得知 : ,` , ( “ , 一 ` 。 一 (一 , , 一 }鑫{ : : 丛丝址卫些业 Z J 。 } 《 君 一 宫 O , 1 「 }f , ( 。 ) 一 了. + , ( : ) ! . _ , _ : 二 I f , 心 之 一— ! 。 — 1 任石 } - . 一 l 2 北 J r’ } 君 一 勒 } 2 尤 之 , 。 土岭注分旦 ’ ` 二 ” , 此处之 , ) 晰 , 而 , , p 则为任何正整数 , 而 。 。 为 云; 的任一定点 , 故 } : 一 司 》 d , 当 。 〔 厂 或 几 。 时 . 同时根据 定理所始的条件得知 , 对于固定的 。 及 。, , 必存在某一正整数 N , 当 。 > N 时 , 有 : }f ,。 ( 二 。 ) 一 f 。 + , ( 。 0 ) ! 《 Z M I , 2 冗j + 一玉 一 2 忙 d 而 ’l 则为 ’r 之长度 , 在 上式 中取 , 二 !f N + , ( : 。 ) ! 《 }f N ( 。 。 ) ! N , lAJ 得 : Z M I ` + 6 , 2汀念 ( 户 = i , 2 , … ) . 而 }加(的 } 在 云: 上显然有界 , 故知 {九(幻 } 在 云; _上一致有界 , 而在 D 内为广 义一致有界 , 从 此得知 { f 。 ( 君 ) ) 为 刀 内的正族 一 我俩现在只 需要 征明 {` ( : )} 在 D 内每一点上为 收歇勘可 , 因 为再根据 正族理萧 中 的推他利定理则 可得到本定 理的征明 . 现在我俩用反赶法 , 殷 {介(幻 } 在 D 内并不在 每一点上收戴 , 而令 宫。 郎为其中 的一 点 , lAJ 我啊可从 f{ 式 “ )} 中选 出二 子函 数列 : {九, ( ” ) } 及 {f 叹( “ ) } , 而使它俩在 某一 包合 甸 而全属于 D 的 内域之 阴区域 万上分别地 一致收 徽于 fl (的 及 f,( : ) . 而 介( 。 。 ) 举 九( : 。 ) , , 且不失 征明 的 真实 性 , 我俩可令 , 、 成 城(左= 1 , 2 3一 ) . 并个 F · , ( “ ) = f · 、 ( “ ) 一 f ·又( “ ) , R[J {气( “ )} 在 刀 内广 义一 致收 徽于全种 函数 fl( “ ) 一 拭 “ 户 故我俩只需靓明 {凡 、 ( “ )}
113 数 学 学 报 9卷 的极限函数在D内恒为0即可.为此我們合 lim Fn(=)=F(=). nk+十@ 如图所示，取P为D内某一内点，井在”上取不同的 8 两点：A及B,而使PA及PB二直我段除A,B外全属于D 内，我們现在要証明F()在以PA,PB,及以A,B为端点 的的部分曲钱为边界的区域△内为有界. 事突上，殷是△的任一固定内点，則 1-=|是2a S1 IF(s)1ld=!+ (A) 2πJn:一l 此处的「，是由T'的部分曲餐及λ，所粗成的簡单可求长閉曲线.而使属于「，所围的 内域者，故(A)对任意的n(正整数)只需其大于某一正整数m0,皆成立.故对于任一固 定的，并依定理中的条件，容易看出(A)中右边括弧中第二項的下极限为霉.·而第一項 則小于或等于，此处的I为「'的长度，而2则为△与T'之距离。故得： 1F()1≤ ∈△. 现在我們先取入，的部分曲钱段，而使除其二端点分别在PA及PB上外，至 属于△丙，则显然可求长約当曲镂序列()以”的部分曲段且以A,B为其端点者为 极限，我們需要証明 m) F(s)ds=0. 事突上： J2≤∫lP(e)-Eela+.F, 而根据定理的条件，上式右边第二項对固定的及足够大的：其值小于或等于，井注 意(F()》在D内是广义一致收然的，合”→+”，则得： i(e)Ilaa≤s. 而{，}→0，故依定理Ⅱ得知： F()三0于△丙， 因此F()三0于D丙，卸F()=()一f()=0,故知f()》在D内每一点上收 敛，而在D内为广义一致收歙.証毕， 采：設区域D,边界”，'及(1}皆同于定理Ⅲ，而(f()}是D内的至純函数列， 对每一f(=)在'是速續的；且 ?1994-2017 China Academiic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
数 学 9 卷 的极 限函数在 D 内 J凌为 。 郎可 . 为 此我朽合 il m .犷+ . F 。 , ( “ ) = F ( “ ) . 如图所示 , 取 尸 为 D 内某一内点 , 拜在 ’r 上取不同的 两点 : A 及 B , 而使 P A 及 P B 二直拔段除 A , B 外全属于 刀 内 , 我俩现在要征明 F (习 在以 p A , p B , 及以 A , 刀 为 端点 的 ’r ` 的部分 曲袋为边界的 区域 △ 内为有界 . 事实上 , 殷 为 是 △ 的任一固定 内点 , lRJ 户 乡 }以动 } 井 《 拟 {粼 r :兴 “ { ` ,; m 万牛{ ” 左砷十 . t Z 7r J } F , , ( ` ) } I J 二 l + 萝 + 上 } 2兀 . } F , . ( : 、 ! 、 , 、 , 一瑰 一 ’ } ` : } ( A ) ” } 忿 一 : 。 } 此处 的 r 芬是由 ’r 的 部分曲修及 又 。 所粗成的筒单可求长阴曲技 . 而使 确 属于 几 所 围的 内 域者 , 故 ( A ) 对任意的 n (正整数 )只需其大于某一正整数 。 。 , 昔成立 . 故对于任一固 定的 。 。 , 并依定理中的条件 , 容易看出 ( A ) 中右边括 弧中第二 项的 下极限 为零 . ` 而第一稠 . IHJ 小于或等于 州 , 此 处的 , , 为 : 户 的长度 , 而 己 lJ 为 △ 与 : , 之距离 . 故得 : - d 允 - - - - - 一 - 一 } F ( 二。 ) ! 《 兰竺二 介` 二。 〔 △ . 现在我俩先取 入 , 的部分曲拔段 从 , 而使 从 除其二 端点分别在 尸A 及 p B 上外 , 弋 全 属于 。 内 , lAJ 显然可 隶长的当 曲袋序列 {从 } 以 ’r 的部分 曲袋段且 以 汉 , B 为其端点者为 极限 , 我俩需要征明 恶 l , : , F伪 , ,“ · , 一 ` · 蟀 事突上 : { , ; ` F ( · ,“ ` · ,` l ; ; , F ( · , 一 F · 、 ` · , , , ` · , + { , 二 ` F · 、 ( · , , ,` · , , 而根据定理的条件 , _七式右边第二项对固定的 。 及足够 大的 叔 其值 小于或等于 。 . , 并注 意 { F 。 : (习 } 在 D 内是广义一致收赦的 , 令 。 ` 、 + co , lBJ 得 : 气 O 气 上 : , F ( · , , , d · ,` 6二 而 {礼 } 一 。 , 故依定理 兀得知 : 以 幻 三 。 、 于 △ 内 , 因 此 F ( 二 ) ` 三 。 于。 内 , 良p 尸( : 。 ) = f : ( 介 ) 一 九( 。 。 ) 二 o , 故知 { f 。 ( 。 ) } 在 刀 内每一点上收 歇 , 而在 D 内为 广义一致收赦 . 孤毕 . 系 : 毅区 域 D , 边界 ’r , ’r 及 {凡} 昔 同于定理 1 , 而 {九( 习 } ’ 是 D 内的全腌函数列 , ;对每一 八(习 在 厂 是速栩的 ; 且 拼