s1.4具有某些特性的函数2学时授课题目课时第一章习题课【知识目标】1.理解有界函数、单调函数的定义；2.理解奇偶函数、周期函数的定义；3.理解实数确界的定义及确界原理【能力目标】教学目标能够理解并掌握与初等函数性态有关的一些常见术语.【素养目标】1.培养学生树立正确的科学观；具有独立思考、提出问题、解决问题的能力2.培养学生运用从一般到特殊的数学思想方法分析问题【教学重点】1.函数的有界性、单调性重点与难点2.求一些简单周期函数的周期【教学难点】函数的有界性，周期函数周期的计算、验证，【教学方法】讲授法、启发式教学法、讨论法.方法与手段【教学手段】板书与学习通、雨课堂平台等现代化教学手段线上线下混合式教学新课导入新课讲解巩固练习课堂小结时间分配(分钟)550305课堂教学过程教学活动设计师生互动【师】复习在学习本章的第二节内容时，我们学习了有界集合的概念，在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函哪位同学能说出数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数．其中，有些有界集合的准确概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地叙述．与“有新课定义呢？界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数，导入【生】积极回答.提问：有界集的定义？【设计意图】通过复习导入法激发学生的学习兴趣和探索精神，进一步引出有界函数的概念
授课题目 §1.4 具有某些特性的函数 第一章习题课 课时 2 学时 教学目标 【知识目标】 1.理解有界函数、单调函数的定义； 2.理解奇偶函数、周期函数的定义； 3.理解实数确界的定义及确界原理. 【能力目标】 能够理解并掌握与初等函数性态有关的一些常见术语. 【素养目标】 1.培养学生树立正确的科学观；具有独立思考、提出问题、解决问题的能力; 2.培养学生运用从一般到特殊的数学思想方法分析问题. 重点与难点 【教学重点】 1. 函数的有界性、单调性． 2. 求一些简单周期函数的周期． 【教学难点】 函数的有界性，周期函数周期的计算、验证. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、讨论法. 【教学手段】 板书与学习通、雨课堂平台等现代化教学手段线上线下混合式教学. 时间分配 （分钟） 新课导入 新课讲解 巩固练习 课堂小结 5 50 30 5 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函 数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数．其中，有些 概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地叙述．与“有 界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数． 提问：有界集的定义？ 师生互动 【师】复习在学习 本章的第二节内 容时，我们学习了 有界集合的概念， 哪位同学能说出 有界集合的准确 定义呢？ 【生】积极回答. 【设计意图】通过 复习导入法激发 学生的学习兴趣 和探索精神，进一 步引出有界函数 的概念
教学重点【师】函数的有界有界函数性是教学重点内1.有上界函数、有下界函数的定义容在讲授过程中要确保数学语言定义1设f为定义在D上的函数，若存在数M(L)，使得的严谨性与逻辑性。对每一个xED有f(x)≤M(f(x)≥L)，则称f为D上的有上（下）界函数，M(L)称为f在D上的一个上（下）界注：（1）f在D上有上（下）界，意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数集；（2）又若M(L)为f在D上的一个上（下）界，则任何问题延伸【师】提问若函数大于M（小于L）的数也是f在D上的上（下）界.所以，函数有界，界是否唯-?的上（下）界若存在，则不是唯一的，【生】积极回答(3）任给一个函数，不一定有上（下）界；【师】举例子（4）由（1）及"有界集"定义，可类比给出"有界函数"定义例如：y=sinxf在D上有界f(D)是一个有界集一f在D上既有上新课1是其一个上界，讲解下界为-1.则易界又有下界f在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数见任何小于－12．有界函数定义的数都可作为其下界，任何大于1定义2设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使的数都可作为其上界得对每一个xED有If(x)M，则称f为D上的有界函【设计意图】激发数.学生的学习兴趣和探索精神，通过注：（1）几何意义：为D上的有界函数，则F的图象完全举例子的方式加深学生对于有界落在y=M和y=-M之间；函数概念的理解。（2）f在D上有界f在D上既有上界又有下界；例子：y=sinx,y=cosx;能力测试(3）关于函数f在D上无上界、无下界或无界的定义【师】引导学生根1.无界函数定义据有界函数的定义写出无界函数定义2设为定义在D上的函数.若对每一个存在正数的定义，【生】雨课堂平台
新课 讲解 一、 有界函数 1.有上界函数、有下界函数的定义 定义１ 设 f 为定义在Ｄ上的函数，若存在数 M L( ) ，使得 对每一个 x D 有 f x M f x L ( ) ( ( ) ) ，则称 f 为Ｄ上的有上 （下）界函数， M L( ) 称为 f 在Ｄ上的一个上（下）界． 注：（１） f 在Ｄ上有上（下）界，意味着值域 f D( ) 是一个 有上（下）界的数集； （２）又若 M L( ) 为 f 在Ｄ上的一个上（下） 界，则任何 大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是 f 在Ｄ上的上（下）界．所以，函数 的上（下）界若存在，则不是唯一的， （3）任给一个函数，不一定有上（下）界； （4）由（１）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f 在Ｄ上有界 f D( ) 是一个有界集 f 在Ｄ上既有上 界又有下界 f 在Ｄ上的有上界函数，也为Ｄ上的有下界函数． 2．有界函数定义 定义２ 设 f 为定义在Ｄ上的函数．若存在正数Ｍ，使 得对每一个 x D 有 | ( ) | f x M ，则称 f 为Ｄ上的有界函 数． 注：（１）几何意义： f 为Ｄ上的有界函数，则 f 的图象完全 落在 y M= 和 y M = − 之间； （２） f 在Ｄ上有界 f 在Ｄ上既有上界又有下界；例子： y x y x = = sin , cos ； （3）关于函数 f 在Ｄ上无上界、无下界或无界的定义． １．无界函数定义 定义 ' 2 设 f 为定义在Ｄ上的函数．若对每一个存在正数 教学重点 【师】函数的有界 性是教学重点内 容.在讲授过程中 要确保数学语言 的严谨性与逻辑 性。 问题延伸 【师】提问若函数 有界，界是否唯 一？ 【生】积极回答. 【师】举例子 例如：𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥， １是其一个上界， 下界为－１，则易 见任何小于－１ 的数都可作为其 下界；任何大于１ 的数都可作为其 上界. 【设计意图】激发 学生的学习兴趣 和探索精神.通过 举例子的方式加 深学生对于有界 函数概念的理解. 能力测试 【师】引导学生根 据有界函数的定 义写出无界函数 的定义. 【生】雨课堂平台
投稿.学生间互相M，存在x。ED,使得If(x)M，则称f为D上的无界点评函数【设计意图】检测学生对函数的有类似可定义无上（下）界函数界性的掌握情况例1.证明f(x)=一为(0,1)上的无上界函数x教学难点例2.设f,g为D上的有界函数.证明【师】判别、证明函数有界性是教(1) inf f(x)+inf g(x)≤inf(f(x)+g(x)学难点内容雨课堂一课堂习题(2) sup(f(x)+g(x))≤sup f(x)+ supg(x) 【师】线上发布测XEDXEDXED试单调函数【生】在线作答.二、【设计意图】检测学生对有界函数定义3设f为定义在D上的函数，Vx,D,X<x，的掌握情况.（1）若f(x)≤f(x），则称f为D上的增函数：若f(x)<f(x），则称f为D上的严格增函数：（2）若教学重点【师】函数的单调f(x)≥f(x)，则称f为D上的减函数；若f(x)>f(xz)，则性是教学重点内容，在讲授过程中称f为D上的严格减函数.要确保数学语言的严谨性与逻辑例3.证明：y=x在(-o0,+o)上是严格增函数性。雨课堂一课堂习题例4.讨论函数y=[x]在R上的单调性.【师】线上发布测试例5.讨论函数y=x?在R上的单调性【生】在线作答.注：1）单调性与所讨论的区间有关，在定义域的某些部分，【设计意图】检测学生对单调函数厂可能单调，也可能不单调所以要会求出给定函数的单调区间的掌握情况.2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分·更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点，这一特征保证了它必有反函数：总结得下面的结论：定理1，设y=f(x),xED为严格增（减）函数，则f必有反函数f-，且f-在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数
Ｍ，存在 x0 D,使得 | f (x0 ) | M ，则称 f 为Ｄ上的无界 函数． 类似可定义无上（下）界函数 例１．证明 1 f x( ) x = 为 (0,1] 上的无上界函数． 例２．设 f g, 为Ｄ上的有界函数．证明： （１） inf ( ) inf ( ) inf ( ) ( ) x D x D x D f x g x f x g x + + ； （２） sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( ) x D x D x D f x g x f x g x + + ． 二、 单调函数 定义３ 设 f 为定义在Ｄ上的函数， 1 2 1 2 x x D x x , , , （１）若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 Ｄ 上 的 增 函 数 ； 若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为Ｄ上的 严格增函数 ．（ ２ ） 若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为Ｄ上的减函数；若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则 称 f 为Ｄ上的严格减函数． 例３．证明： 3 y x = 在 ( , ) − + 上是严格增函数． 例４．讨论函数 y x = [ ] 在Ｒ上的单调性． 例５．讨论函数 2 y x = 在Ｒ上的单调性． 注：１）单调性与所讨论的区间有关．在定义域的某些部分， f 可能单调，也可能不单调．所以要会求出给定函数的单调区间； ２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于 x 轴 的部分．更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于 x 轴的 直线至多有一个交点．这一特征保证了它必有反函数． 总结得下面的结论： 定理１．设 y f x x D = ( ), 为严格增（减）函数，则 f 必有 反函数 1 f − ，且 1 f − 在其定义域 f D( ) 上也是严格增（减）函数． 投稿.学生间互相 点评. 【设计意图】检测 学生对函数的有 界性的掌握情况. 教学难点 【师】判别、证明 函数有界性是教 学难点内容. 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对有界函数 的掌握情况. 教学重点 【师】函数的单调 性是教学重点内 容.在讲授过程中 要确保数学语言 的严谨性与逻辑 性。 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对单调函数 的掌握情况
问题延伸例讨论函数y=x在（-00,+o0)上反函数的存在性；如果【师】讨论函数y=x?在不同定y=x在(-00,+o0)上不存在反函数，在(-00,+o)的子区间上存义域上反函数的存在性？在反函数否？【生】积极回答，结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关，【设计意图】引导例证明：y=α当a>l时在R上严格增，当0<a<l时在学生思考讨论函R上严格递减数的反函数与自变量的变化范围有关三、奇函数和偶函数定义4．设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数，若对每一个xED有教学重点（1）f(-x)=-f(x)，则称f为D上的奇函数;【师】函数的奇偶性是教学重点内(2）f(-x)=f(x)，则称f为D上的偶函数容，在讲授过程中注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中要确保数学语言心对称），偶函数的图象关于y轴对称的严谨性与逻辑性。（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)=x,xE[0,1没有必要讨论奇偶性（3）从奇偶性角度对函数分类：奇函数：y=sinx偶函数y=sgnx非奇非偶函数y=sinx+cosx既奇又偶函数：y=0（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时雨课堂一课堂习题只须讨论原点的左边或右边即可。例研究符号函数sgnx的奇偶性？【师】线上发布测试，研究符号函数sgnx的奇偶性？四、周期函数【生】在线作答.【设计意图】检测1.定义学生对奇偶性的设f为定义在数集D上的函数，若存在>0，使得对掌握情况.一切xED有f(x土o)=f(x)，则称f为周期函数，α称为于的一个周期，2.几点说明：
例 讨论函数 2 y x = 在 ( , ) − + 上反函数的存在性；如果 2 y x = 在 ( , ) − + 上不存在反函数，在 ( , ) − + 的子区间上存 在反函数否？ 结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关． 例 证明： x y a = 当 a 1 时在Ｒ上严格增，当 0 1 a 时在 Ｒ上严格递减． 三、 奇函数和偶函数 定义４. 设Ｄ为对称于原点的数集， f 为定义在Ｄ上的函 数．若对每一个 x D 有 （１） f x f x ( ) ( ) − = − ，则称 f 为Ｄ上的奇函数； （２） f x f x ( ) ( ) − = ，则称 f 为Ｄ上的偶函数． 注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中 心对称），偶函数的图象关于 y 轴对称； （２）奇偶性的前提是定义域对称，因此 f x x x ( ) , [0,1] = 没有必要讨论奇偶性． （３）从奇偶性角度对函数分类： { 奇函数: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 偶函数: 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛𝑥 非奇非偶函数: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 既奇又偶函数: 𝑦 ≡ 0 ； （４）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时， 只须讨论原点的左边或右边即可． 例 研究符号函数 sgn x 的奇偶性？ 四、 周期函数 １．定义 设 f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在 0 ，使得对 一切 x D 有 f x f x ( ) ( ) = ，则称 f 为周期函数， 称 为 f 的一个周期． ２．几点说明： 问题延伸 【师】讨论函数 𝑦 = 𝑥 2 在 不同定 义域上反函数的 存在性？ 【生】积极回答. 【设计意图】引导 学生思考讨论函 数的反函数与自 变量的变化范围 有关. 教学重点 【师】函数的奇偶 性是教学重点内 容.在讲授过程中 要确保数学语言 的严谨性与逻辑 性。 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试，研究符号函数 𝑠𝑔𝑛 𝑥的奇偶性？ 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对奇偶性的 掌握情况
(1）若α是f的周期，则no(nEN.）也是f的周期，所以周期若存在，则不唯一，如y=sinx,α=2元，4元，L，因此有如下基本周期"的说法，即若在周期函数f的所有周期中教学难点【师】函数周期性有一个最小的周期，则称此最小周期为的"基本周期”，简的计算是教学难点内容称"周期，如y=Sinx，周期为2元，雨课堂一课堂习题【师】线上发布测(2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一试.定有基本周期，如：1）y=x+1，不是周期函数【生】在线作答.【设计意图】检测2）y=C（C为常数)，任何正数都是它的周期学生对周期性掌握情况例求f(x)=x-[x]的周期大习题课第一章 1.1节1.设α为有理数，为无理数.证明：（1）a+%是无理数；（2）当a*0时，a%是无理数2.试在数轴上表示出下列不等式的解：雨课堂一课堂习题(1)(-1)>0;(2)1x-11<lx-31;【师】线上发布测(3）x-1-/2x-1≥3x-2.试3.设a,beR.证明：若对任何正数有la-bl<8，则a=b【生】在线作答，5.证明：对任何R有【设计意图】检测(1)12-11+x-21≥1;(2)1x-1/+/x-21+/x-3/≥2.学生对第一章知说明等号何时成立，识点的掌握情况。1.2节1.用区间表示下列不等式的解：1(1) 11-xl-x≥0;((2)46+32.设S为非空数集.试对下列概念给出定义：(1)S无上界；（2）S无界.4.求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：(1)S=(xlx<2l;(2)S=(al%=nl,neN,1;
（1）若 是 f 的周期，则 n n N ( ) + 也是 f 的周期，所以 周期若存在，则不唯一．如 y x = = sin , 2 ,4 , L ．因此 有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数 f 的所有周期中 有一个最小的周期，则称此最小周期为 f 的“基本周期”，简 称“周期”．如 y x = sin ，周期为 2 ． （2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一 定有基本周期，如：１） y x = +1 ，不是周期函数； ２） y C= （Ｃ为常数），任何正数都是它的周期． 例 求 f (x) = x −[x] 的周期． 习题课 第一章 1.1 节 1.2 节 教学难点 【师】函数周期性 的计算是教学难 点内容. 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对周期性掌 握情况. 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对第一章知 识点的掌握情况