中国矿业大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第十章 重积分

810.1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质

§10.1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 -1-

一、二重积分的概念引例1设有一立体(如右图)底：是xOy面上的闭区域D;Z=f(x,y)侧面：以D的边界曲线为准线而母线平行z轴的柱面；顶：曲面z=f(x,y)，假定f(x,y)≥0且在D上连续求该曲顶柱体的体积V？平顶柱体：体积高×底面积

引例 1 设有一立体(如右图). -2-   ： 体积 平 柱体 高 顶 底面积 一、二重积分的概念 底：是 面上 xOy 的闭区域D； D z 以 的边界曲线为准线 而母线平行 轴 侧面： 的柱面； (, ) (, ) 0 z f xy f xy D   曲面 ，假定 顶： 且在 上连续. 求 的体积 该 ？ 曲顶柱体 V

①分割：将D任意分割成z,=f(5,n)Aoi,Ao2...",Aon既表示第i个小区域，Ao:#又表示它的面积，yVY4X②近似：任取(5i,n)eAo，AV, ~ f(5i,n).Ao,求和: V=AV,~Zf(5,n,)A;3-Zf(5i,n,)Ao, a=max[A,的直径)取极限：V=lim1-0i=1

④ 取极限： ① 分割： ② 近似： ③ 求和： -3- 将 任意分割成 D 1 2 ， ，      n i  ：既表示第 个小区域， i 又表示它的面积. (, ) ii i 任取 ，     (, ) V f i ii i       ， 1 1 (, ) n n i ii i i i V Vf           ； 0 1 lim ( , ) n ii i i V f          ，   1max . i i n       的直径

引例2设有一平面薄片，占有xOv面上的闭区域D它在点(x,y)处的面密度为p(x,y)，假定p(x,y)>0,且在D上连续，求其质量M？福均匀平面薄片：质量=面密度×面积

(, ) (, ) (, ) 0 xy xy x O y M x y D D    设有一平面薄片，占有 面上的闭区域 ， 它在点 处的面 引例 2 密度为 ，假定 且在 上连续，求其质量 ， ？ - 4 - 均匀平面薄 片：质量 面密  度 面积

①分割：将D任意分割成Ao,Ao2,..",AonD△：既表示第i个小区域，Ao,又表示它的面积(5,,n,)近似：任取(s,,n)eAo,2x0AM, ~ p(5,n.).△o,求和: M=AM,~p(5,n,)A;31-N取极限：M=limp(Si,n,)Ao,， =max[△o,的直径)元0il

-5- ① 分割：将 任意分割成 D 1 2 ， ，      n i  ：既表示第 个小区域， i 又表示它的面积. ② 近似： (, ) ii i 任取 ，     (, ) Mi ii i      ， ④ 取极限： ③ 求和： 1 1 (, ) n n i ii i i i M M           ； 0 1 lim ( , ) n ii i i M          ，   1max . i i n       的直径