u=g(x)=2+x2,xEE=R.个函数都可以复合吗？就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数"的值域【生】积极回答与"外函数"的定义域的交集不空（从而引出下面定义）【设计意图】复合1、定义（复合函数）设有两个函数函数是本节内容y= f(u),ue D,u= g(x),xeE,的教学重点与难点内容.以提出问记E=(xf(x)D)nE，若E+，则对每一个xE，通题的方式引出复合函数的定义，加过g对应D内唯一一个值u，而u又通过f对应唯一一个值y，强学生对概念的理解.再配合例题这就确定了一个定义在E"上的函数，它以x为自变量，y因变量，巩固学生的记忆记作y=f(g(x),xeE或y=(fog)(x),xeE.简记为fg称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变量例讨论函数y= f(u)=Nu,ue[0,+o0)与函数u=g(x)=/1-x,xe R能否进行复合，求复合函数，2、说明1）复合函数可由多个函数相继复合而成，每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？教学难点例如：y=sinu,u=/,v=1-x?,【师】复合关系的复合成：分析是教学难点内容，授课过程中y= sin /1-x2,xe[-1,1]结合例题，使学生2）不仅要会复合，更要会分解，把一个函数分解成若干个在思考的过程中理解并会对复合简单函数，在分解时也要注意定义域的变化关系进行分析.y=log, V1-x*,x e (0,1) →y=log, u,u= VE,z=1-x2.@y=arcsinx+1→y=arcsinu,u=x?+1③y=2m*→y=2",u=v,v= sinx
𝑢 = 𝑔(𝑥) = 2 + 𝑥 2 , 𝑥 ∈ 𝐸 = 𝑅. 就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域 与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）. 1、定义（复合函数） 设有两个函数 y f u u D u g x x E = = ( ), , ( ), ， 记 E x f x D E = ( ) g ，若 E g ，则对每一个 x E g ，通 过 g 对应Ｄ内唯一一个值 u ，而 u 又通过 f 对应唯一一个值 y ， 这就确定了一个定义在 E g 上的函数，它以 x 为自变量， y 因变量， 记作 y f g x x E = ( ( )), g 或 y f g x x E = ( )( ), g o .简记为𝑓 ∘ 𝑔. 称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数， g 为内函数，u 为中间变量. 例 讨论函数 y f u u u = = + ( ) , [0, ) 与函数 2 u g x x x R = = − ( ) 1 , 能否进行复合，求复合函数． 2、说明 １）复合函数可由多个函数相继复合而成．每次复合，都要 验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义 域是什么？ 例如： 2 y u u v v x = = = − sin , , 1 ， 复合成： 2 y x x = − − sin 1 , [ 1,1] . ２）不仅要会复合，更要会分解．把一个函数分解成若干个 简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ① 2 2 log 1 , (0,1) log , , 1 . a a y x x y u u z z x = − → = = = − ② 2 2 y x y u u x = + → = = + arcsin 1 arcsin , 1. ③ 2 sin 2 2 2 , , sin . x u y y u v v x = → = = = 个函数都可以复 合吗？ 【生】积极回答. 【设计意图】复合 函数是本节内容 的教学重点与难 点内容.以提出问 题的方式引出复 合函数的定义，加 强学生对概念的 理解.再配合例题 巩固学生的记忆. 教学难点 【师】复合关系的 分析是教学难点 内容.授课过程中 结合例题，使学生 在思考的过程中 理解并会对复合 关系进行分析
五、反函数在函数y=f(x)中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f(u)=Vu,u=t+1,那么u对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量习惯上说函数y=f(x)中x是自变量，y是因变量，是基于教学重点y随x的变化现时变化，但有时我们不公要研究y随的变化状【师】反函数的概况，也要研究x随y的变化的状况。对此，我们引入反函数的概念是教学重点内念容.在讲授过程中1、反函数概念要确保数学语言的严谨性与逻辑设函数y=f(x),xED.满足：对于值域f(D)中的每一个性。值y，D中有且只有一个值x，使得f(x)=y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为F的反函数，记作f-: f(D)-→D,(yHx)或x = f-'(y),yE f(D)2、注释a）并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是D与f(D)之间的一个一一映射，称师生互动【师】提问函数-为映射的逆映射，它把f(D)→Dy=x2,xE[-1,1]有反函b）函数f与f-互为反函数，并有数吗？y=x2,f-'(f(x)=x,xED, f(f-(x)= y,yE f(D)XE[0,2]有反函数吗？c)在反函数的表示x=f-(y),yEf(D)中，是以y为【生】积极回答.【设计意图】通过自变量，X为因变量，若按习惯做法用x做为自变量的记提问引导学生进号，y作为因变量的记号，则函数的反函数f-可以改一步地思考反函写为数的定义，激发学生的学习兴趣和y= f-(x),xe f(D)探索精神
五、反函数 在函数 y f x = ( ) 中把 x 叫做自变量， y 叫做因变量. 但需要 指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的， 例如： 2 f u u u t ( ) , 1, = = + 那么 u 对于 f 来讲是自变量，但对 t 来讲， u 是因变量. 习惯上说函数 y f x = ( ) 中 x 是自变量， y 是因变量，是基于 y 随 x 的变化现时变化．但有时我们不公要研究 y 随 x 的变化状 况，也要研究 x 随 y 的变化的状况. 对此，我们引入反函数的概 念. 1、反函数概念 设函数 y f x x D = ( ), ．满足：对于值域 f D( ) 中的每一个 值 y ，Ｄ中有且只有一个值 x ，使得 f x y ( ) = ，则按此对应法则 得到一个定义在 f D( ) 上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记 作 1 f f D D y x : ( ) ,( | ) − → → 或 1 x f y y f D ( ), ( ) − = . 2、注释 a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 f 有反函数，意味着 f 是Ｄ与 f D( ) 之间的一个一一映射，称 1 f − 为映射 f 的逆映射，它把 f D D ( ) → ； b) 函数 f 与 1 f − 互为反函数，并有: 1 f f x x x D ( ( )) , , − 1 f f x y y f D ( ( )) , ( ). − c) 在反函数的表示 1 x f y y f D ( ), ( ) − = 中，是以 y 为 自变量， x 为因变量. 若按习惯做法用 x 做为自变量的记 号， y 作为因变量的记号，则函数 f 的反函数 1 f − 可以改 写为 1 y f x x f D ( ), ( ) − = . 教学重点 【师】反函数的概 念是教学重点内 容.在讲授过程中 要确保数学语言 的严谨性与逻辑 性。 师生互动 【师】提问函数 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [−1,1]有反函 数吗？ 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [0,2] 有 反 函 数吗？ 【生】积极回答. 【设计意图】通过 提问引导学生进 一步地思考反函 数的定义，激发学 生的学习兴趣和 探索精神
如y=sinx的反函数记为y=arcsinx应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别六、初等函数1、基本初等函数（6类）常量函数y=C(C为常数);幕函数y=x"(αeR);指数函数y=a'(a>0,a±l);福y=log.x(a>0,a+l);对数函数三角函数y= sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx ;反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.注：幕函数y=x(αeR)和指数函数y=α(a>0,a+l)都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幕，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质定义2，给定实数a>0,a±1，设x为无理数，我们规定：sup(a' [r为有理数),当a>时,a=inf(a|r为有理数),当0<a<时.rx[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的"确界是师生互动否存在呢？【师】提问这样的定义有意义否？2、初等函数更明确一点相应定义3由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算的“确界是否存在呢？所得到的函数，统称为初等函数【生】积极回答如.【设计意图】激发Sin_学生的学习兴趣y=2sinx+cos"x,y=sin(-),y=logax+,y=x].xX和探索精神不是初等函数的函数，称为非初等函数如Dirichlet函数
如 y = sin x 的反函数记为 y = arcsin x . 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为 其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已. 但它 们的图形在同一坐标系中画出时有所差别. 六、初等函数 1、基本初等函数（６类） 常量函数 y C= （Ｃ为常数）； 幂函数 y x R ( ) = ； 指数函数 ( 0, 1) x y a a a = ； 对数函数 log ( 0, 1) a y x a a = ； 三角函数 y x y x y tgx y tgx = = = = sin , cos , , c ； 反三角函数 y x y x y arctgx y arcctgx = = = = arcsin , arccos , , . 注：幂函数 y x R ( ) = 和指数函数 ( 0, 1) x y a a a = 都 涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义. 下 面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构 成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质. 定义２．给定实数 a a 0, 1 ，设 x 为无理数，我们规定： sup | , 1 | , 0 1 r x r x r a r a a a r a = r<x 为有理数 当 时, inf 为有理数 当 时. [问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是 否存在呢？” 2、初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算 所得到的函数，统称为初等函数. 如 ： sin 2 2 1 1 2sin cos , sin( ), l g , | |. x a e y x x y y o x y x x x − = + = = + = 不是初等函数的函数，称为非初等函数．如 Dirichlet 函数、 师生互动 【师】提问这样的 定义有意义否？ 更明确一点相应 的“确界是否存在 呢？ 【生】积极回答. 【设计意图】激发 学生的学习兴趣 和探索精神
Riemann函数、取整函数等都是非初等函数注：初等函数是本课程研究的主要对象，为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域福雨课堂一课堂习题例2，求下列函数的定义域，【师】线上发布测x试.(1)(2)y= In[sinxV=/x-1【生】在线作答【设计意图】检测学生对初等函数定义域的掌握情况【生】总结方法。【师】鼓励学生勇函数：定义、表示方法、复合运算课堂于探索创新.小结反函数、初等函数第三节 函数概念1.函数的概念2.函数的性质3.函数的四则运算(1)注释(2)例题(3)课堂板书4.复合函数6.基本初等函数7.初等函数5.反函数注释
Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数． 注：初等函数是本课程研究的主要对象．为此，除对基本初 等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定 义域． 例２．求下列函数的定义域． （１） 1 x y x = − ； （２） y x = ln | sin |. 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对初等函数 定义域的掌握情 况. 课堂 小结 函数：定义、表示方法、复合运算 反函数、初等函数. 【生】总结方法。 【师】鼓励学生勇 于探索创新. 课堂 板书 第三节 函数概念 1. 函数的概念 注释 2. 函数的性质 (1) (2) (3) 3.函数的四则运算 例题 4.复合函数 5.反函数 注释 6.基本初等函数 7.初等函数
课后作业在学习通上发布，具体内容为：课后课后习题作业P14:1(4),6, 7(2) (4)【目标完成情况】本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对函数概念、性质及四则运算掌握较好，学生对复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数概念的理解较好；教学【教学设计分析】反思本节课时间掌控较好，例题选取上可以更加丰富，【教学优化措施】此节内容与中学数学联系较为密切，可以更多引导学生自主完成学习
课后 作业 课后作业在学习通上发布，具体内容为： 课后习题 P14:1(4),6,7(2)(4) 教学 反思 【目标完成情况】 本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对函数概念、性质及四则运算掌握 较好，学生对复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数概念的理解较好； 【教学设计分析】 本节课时间掌控较好，例题选取上可以更加丰富. 【教学优化措施】 此节内容与中学数学联系较为密切，可以更多引导学生自主完成学习