第一章实数集与函数第一节实数例题1.实数定义3.绝对值的有关性质练习题练习题2.实数的性质课堂板书第二节数集·确界原理1.区间与邻域3.确界的定义4.确界原理例题2.集合的有界性例题课后作业在学习通上发布，具体内容为：课后课后习题作业P4:1(1), 2(1) (2), 3, 5P8:1(1),2,4(1) (2)【目标完成情况】本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对实数概念及性质掌握较好，从中学数学引出高等数学对实数的定义，提升学生对抽象概念的理解能力；学生能熟练掌握绝对值不等式并对其进行应用，多数的学生可以正确完成练习题证明学生对确界原理的理解较好；对于稍有难度的证明题，将近一半的学生可以独立完成证明，但证明过程严谨性不足；讲授确界定义时教学举的一些例子能够引起学生共鸣，效果较好反思【教学设计分析]作为从初等数学进入高等数学的第一节课，信息量有些大，时间分配较为合理，启发式教学法效果比较好【教学优化措施】预习内容增加查阅实数理论构建的故事，应多收集更贴近生活实际而的例子作为导入，可以在导入环节找3-4个学生讲述他们找到的关于实数的故事
课堂 板书 第一章 实数集与函数 第一节 实数 1. 实数定义 2. 实数的性质 例题 练习题 3. 绝对值的有关性质 练习题 第二节 数集·确界原理 1. 区间与邻域 2. 集合的有界性 3.确界的定义 例题 4. 确界原理 例题 课后 作业 课后作业在学习通上发布，具体内容为： 课后习题 P4:1(1),2(1)(2),3,5 P8:1(1),2,4(1)(2) 教学 反思 【目标完成情况】 本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对实数概念及性质掌握较好，从中学数学引 出高等数学对实数的定义，提升学生对抽象概念的理解能力；学生能熟练掌握绝对值不等式并 对其进行应用，多数的学生可以正确完成练习题证明. 学生对确界原理的理解较好；对于稍有 难度的证明题，将近一半的学生可以独立完成证明，但证明过程严谨性不足；讲授确界定义时 举的一些例子能够引起学生共鸣，效果较好. 【教学设计分析】 作为从初等数学进入高等数学的第一节课，信息量有些大，时间分配较为合理，启发式教 学法效果比较好. 【教学优化措施】 预习内容增加查阅实数理论构建的故事，应多收集更贴近生活实际而的例子作为导入.可以 在导入环节找 3-4 个学生讲述他们找到的关于实数的故事
课时2 学时授课题目s1.3函数概念【知识目标】1.理解函数的定义2.掌握复合函数、反函数和初等函数的定义，3.熟悉函数的各种表示法.【能力目标】教学目标1.会求初等函数的存在域2.会分析初等函数的复合关系.【素养目标】1.培养学生学会运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题2.培养学生树立正确的学习观和方法论；具有学以致用的能力【教学重点】1.函数的概念重点与难点2.基本初等函数的定义、性质及其图象【教学难点】初等函数复合关系的分析【教学方法】讲授法、启发式教学法方法与手段【教学手段】板书与学习通、雨课堂平台等现代化教学手段线上线下混合式教学新课导入巩固练习课堂小结新课讲解时间分配(分钟)550305课堂教学过程教学活动设计当我们观察或研究客观世界的各种事物时，会遇到很多不同师生互动的量。这些量一般来说都是不断变化的，这也是客观世界不断变【师】提问中学数化、不断运动、不断发展在量的方面的体现。例如，当我们研究学学习函数时，其一个自由落体运动时，就会遇到地球的引力、空气的浮力，时间、概念是如何给出物体的高度等各种量，这些量都是变化的，叫做变量。我们知道，新课的呢？客观世界中各个事物之间是相互联系、相互依赖与相互制约的。导入【生】积极回答因此，从量的方面来看，各个量之间的变化并非毫无关联，是可【设计意图】通过以相互联系相互制约的。那么变量之间相互依赖的关系就是所调问题导入法激发的函数关系。学生的学习兴趣关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解，为便于今和探索精神.后的学习，本节将对此作进一步讨论
授课题目 §1.3 函数概念 课时 2 学时 教学目标 【知识目标】 1. 理解函数的定义 2. 掌握复合函数、反函数和初等函数的定义； 3. 熟悉函数的各种表示法. 【能力目标】 1. 会求初等函数的存在域； 2. 会分析初等函数的复合关系. 【素养目标】 1. 培养学生学会运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题; 2. 培养学生树立正确的学习观和方法论；具有学以致用的能力. 重点与难点 【教学重点】 1. 函数的概念. 2. 基本初等函数的定义、性质及其图象. 【教学难点】 初等函数复合关系的分析. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法. 【教学手段】 板书与学习通、雨课堂平台等现代化教学手段线上线下混合式教学. 时间分配 （分钟） 新课导入 新课讲解 巩固练习 课堂小结 5 50 30 5 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 当我们观察或研究客观世界的各种事物时，会遇到很多不同 的量。这些量一般来说都是不断变化的，这也是客观世界不断变 化、不断运动、不断发展在量的方面的体现。例如，当我们研究 一个自由落体运动时，就会遇到地球的引力、空气的浮力，时间、 物体的高度等各种量，这些量都是变化的，叫做变量。我们知道， 客观世界中各个事物之间是相互联系、相互依赖与相互制约的。 因此，从量的方面来看，各个量之间的变化并非毫无关联，是可 以相互联系相互制约的。那么变量之间相互依赖的关系就是所谓 的函数关系。 关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解．为便于今 后的学习，本节将对此作进一步讨论. 师生互动 【师】提问中学数 学学习函数时，其 概念是如何给出 的呢？ 【生】积极回答. 【设计意图】通过 问题导入法激发 学生的学习兴趣 和探索精神
一、函数的定义1、定义1设D,MCR，如果存在对应法则f使对教学重点【师】函数的概念VxED，存在唯一的一个数yEM与之对应，则称f是定义在是教学重点内容在讲授过程中要数集D上的函数，记作f:D→M（x→y）函数f在点x的函确保数学语言的严谨性与逻辑性。数值，记为f（x），全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D). 即f(D)=(yly= f(x),xeD)2、几点说明(1）函数定义的记号中"f：D→M"表示按法则f建立D到M的函数关系，x→y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x→>f(x).习惯上称x自变量，y为因变量新课讲解(2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域，当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来．因此，函数的基问题延伸本要素为两个：定义域和对应法则所以函数也常表示为：【师】提问自变量y=f(x),xED.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同不同是否会影响函数？的定义域和对应法则【生】积极回答.例如：1)f(x)=l,xER,g(x)=1,xeRI(O)、(不相同【设计意图】激发对应法则相同，定义域不同），学生的学习兴趣和探索精神2) 0(x)=xl,xeR, y(x)=/,xeR (相同.对应法则的表达形式不同)（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域），此时，函数的记号中的定义域D可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数.即"函数y=f（x）"或“函数f"如f(x)= /1-x2(4)“映射"的观点来看，函数f本质上是映射，对于αED
新课 讲解 一、函数的定义 １、定义１设 D M R , ，如果存在对应法则 f ，使对 x D ，存在唯一的一个数 y M 与之对应，则称 f 是定义在 数集Ｄ上的函数，记作 f D M : → ( x y |→ ).函数 f 在点 x 的函 数值，记为 f x( ) ，全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f D( ). 即 f D y y f x x D ( ) | ( ), = = . ２、几点说明 （1）函数定义的记号中“ f D M : → ”表示按法则 f 建立Ｄ 到Ｍ的函数关系， x y |→ 表示这两个数集中元素之间的对应关 系，也记作 x f x | ( ) → . 习惯上称 x 自变量， y 为因变量. （2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域．当对 应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来. 因此，函数的基 本要素为两个：定义域和对应法则. 所以函数也常表示为： y f x x D = ( ), . 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同 的定义域和对应法则. 例如：1） f x x R ( ) 1, , = g x x R ( ) 1, \ 0 . = （不相同， 对应法则相同，定义域不同）． 2） ( ) | |, , x x x R = 2 ( ) , . x x x R = （相同， 对应法则的表达形式不同）. （3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取 使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定 义域）．此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对 应法则 f 来表示一个函数. 即“函数 y f x = ( ) ”或“函数 f ”.如 2 f (x) = 1− x （4）“映射”的观点来看，函数 f 本质上是映射，对于 a D ， 教学重点 【师】函数的概念 是教学重点内容. 在讲授过程中要 确保数学语言的 严谨性与逻辑性。 问题延伸 【师】提问自变量 不同是否会影响 函数？ 【生】积极回答. 【设计意图】激发 学生的学习兴趣 和探索精神
f(a)称为映射f下a的象.a称为f(a)的原象(5）函数定义中，VxED，只能有唯一的一个y值与它对强化理解应，这样定义的函数称为“单值函数"，若对同一个x值，可以对【师】强调单值函应多于一个y值，则称这种函数为多值函数，本书中只讨论单值数【生】强化理解函数（简称函数）加深对函数概念的掌握二、函数的表示方法1、函数的表示法主要有三种：解析法（公式法）、列表法和图象法2、可用"特殊方法"来表示的函数（1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.[1,x>0例如 sgnx=30,x=0，（符号函数）-1,x<0(借助于Sgnx可表示f(x)=xl,即f(x)=xxsgnx（2）用语言叙述的函数课程思政【师】迪利克雷例1）y=[x](取整函数)（Dirichlet）是德国数学家，他是[1,当x为有理数,2) D(x)=(Dirichlet)解析数论的创始[0,当x为无理数，人，对函数论、位3)势论和三角级数论都有重要贡献。,当x=(P,geN+为假分数)黎曼（Riemann）R(x)=3qq是德国数学家，他(0,当x=0,1和(0,1)内的无理数.在数学分析和微（Riemman函数）分几何方面做出过重要的贡献，他三、函数的四则运算开创了黎曼几何，并为后来爱因斯坦的广义相对论给定两个函数fxED,gxED，记D=DOD,，并设提供了数学基础。他奉行恩施高斯D≠Φ，定义与g在D上的和、差、积运算如下：的座右铭，“宁肯少些，但要成熟”F(x)= f(x)+g(x),xEDr【设计意图】由两位数学家的事迹G(x)= f(x)-g(x),xeD; H(x)=f(x)g(x),xe D引申思政教育，鼓
f a( ) 称为映射 f 下 a 的象. a 称为 f a( ) 的原象. （5）函数定义中， x D ，只能有唯一的一个 y 值与它对 应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个 x 值，可以对 应多于一个 y 值，则称这种函数为多值函数．本书中只讨论单值 函数（简称函数）. 二、函数的表示方法 1、函数的表示法主要有三种：解析法（公式法）、列表法和 图象法. 2、可用“特殊方法”来表示的函数. （１） 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来 表示. 例如 1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x x x x = = − ，（符号函数） （借助于 Sgnx 可表示 f x x ( ) | |, = 即 f x x x x ( ) | | sgn = = . （２）用语言叙述的函数. 例 １） y x = [ ] （取整函数） ２） 1, ( ) 0, x D x x = 当 为有理数, 当 为无理数, （Ｄirichlet） ３） 1 , ( , , ( ) 0, 0,1 (0,1) p p x p q N R x q q q x = + = = 当 为假分数), 当 和 内的无理数. （Riemman 函数） 三、函数的四则运算 给定两个函数 1 2 f x D g x D , , , ，记 D = D1 D2 ，并设 D ，定义 f 与 g 在Ｄ上的和、差、积运算如下： F x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = + ； G x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = − ； H x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = . 强化理解 【师】强调“单值函 数”. 【生】强化理解， 加深对函数概念 的掌握. 课程思政 【师】迪利克雷 （Dirichlet）是 德国数学家，他是 解析数论的创始 人，对函数论、位 势论和三角级数 论都有重要贡献。 黎曼（Riemann） 是德国数学家，他 在数学分析和微 分几何方面做出 过重要的贡献，他 开创了黎曼几何， 并为后来爱因斯 坦的广义相对论 提供了数学基础。 他奉行恩施高斯 的座右铭，“宁肯少 些，但要成熟” 【设计意图】由两 位数学家的事迹 引申思政教育，鼓
励学生勇于探索若在D中除去使g(x)=0的值，即令创新.D=DI(xg(x)0,xe D,)+Φ可在D上定义f与g的商运算如下：L()= (,xe De.g(x)注：1）若D=D,nD,=Φ，则f与g不能进行四则运问题延伸算.【师】提问如果两个函数的定义域g(x) = Vx2 -4如 f(x)= /1-x2交集为空集，是否还能进行四则运f(x)+g(x)无意义算？【生】积极回答。2）为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写【设计意图】激发学生的学习兴趣为:f+g,f-g,fg,和探索精神。g四、复合运算在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率E为1E=-mv1mg12=E=22v= gt抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数1f(v)= --mv2,v=gt2把v(t)代入f，即得1f(v(t)==mg*2这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数"引入新定义[问题]］任给两个函数都可以复合吗？考虑下例【师】提问任何两y=f(u)=arcsinu,uED=[-1,i]
若在Ｄ中除去使 g x( ) 0 = 的值，即令 D D x g x x D = \ ( ) 0, 2 g ， 可在 D g 上定义 f 与 g 的商运算如下： ( ) ( ) , ( ) f x L x x D g x = g . 注：１）若 D = D1 D2 = ，则 f 与 g 不能进行四则运 算. 如 ( ) 1 ( ) 4 2 2 f x = − x g x = x − . f (x) + g(x)无意义. ２）为叙述方便，函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写 为： , , , f f g f g fg g + − . 四、复合运算 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变 量才建立起它们之间的对应关系. 例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v，则功率Ｅ为 2 2 2 1 1 2 2 E mv E mg t v gt = = = . 抽 去 该 问 题 的 实 际 意 义 ， 我 们 得 到 两 个 函 数 1 2 ( ) , 2 f v mv v gt = = ， 把 vt() 代入 f ，即得 1 2 2 ( ( )) 2 f v t mg t = . 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函 数”. [问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例 𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑢 , 𝑢 ∈ 𝐷 = [−1,1], 励学生勇于探索 创新. 问题延伸 【师】提问如果两 个函数的定义域 交集为空集，是否 还能进行四则运 算？ 【生】积极回答. 【设计意图】激发 学生的学习兴趣 和探索精神. 引入新定义 【师】提问任何两