的方式加强学1生对新概念的x=aoai"an为实数x的n位不足近似；x=x,+称为实数x的n位过10%理解.再配合两个简单的练习剩近似；对于实数x=-aoai"an"，其n位不足近似xn=-aoai"an"-题巩固学生的n位过剩近似xn=-aoaian"10记忆注：实数x的不足近似x，当n增大时不减，即有xo≤x1≤x2≤≤x过剩近似x当n增大时不增，即有xo≥xi≥x≥≥x雨课堂一课堂习例：设x=32.17569352求题X5,X6, x5,x6, (-x)3 (-x)4, (-x)3, (-x)4命题：记x=aoai"an"，y=bobibn"为两个实数，则x>y的等【师】线上发布测试价条件是：存在非负整数n，使x，>y，（其中x,为x的n位不足近似，y,为【生】在线作答y的n位过剩近似）【设计意图】检例：设x,y为实数，x<y，证明存在有理数"，满足x<r<y：测学生对集合不足近似与过证，由x<y，知：存在非负整数n，使得x<yn令剩近似概念掌握情况.，则r为有理数，且x≤x,<r<y,≤y.即x<r<y.3、实数常用性质教学难点。封闭性（实数集R对+，-,×,）四则运算是封闭的，即任意两【师】实数的性质是教学难点个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数授课过程中结·有序性：任意两个实数a,b必满足下列关系之一：合例题，使学生在思考的过程a<b,a>b,a=b.中理解并熟练运用相关性质·传递性；a<b,b>c=a>c·阿基米德性：Va,beR,b>a>0=3neN使得na>b.课程思政·稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数。【师】阿基米德是古希腊数学。实数集R与数轴上的点有着一一对应关系家、哲学家。他例2设Va,beR，证明：若对任何正数，有a<b+s，则a<b曾说过：“给我一个支点，我就（提示：反证法，利用"有序性"，取ε=a-b）能撬起整个地球。"阿基米德
𝑥 = 𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛为实数 x 的 n 位不足近似； 1 10 n n n x x = + 称为实数 x 的 n 位过 剩近似；对于实数𝑥 = −𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯，其 n 位不足近似𝑥𝑛 = −𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯ − 1 10 𝑛； n 位过剩近似𝑥𝑛 = −𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯. 注：实数 x 的不足近似 n x 当 n 增大时不减，即有𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥; 过剩近似 n x 当 n 增大时不增，即有𝑥0 ≥ 𝑥1 ≥ 𝑥 ≥ ⋯ ≥ 𝑥. 例： 设𝑥 = 32.17569352 ⋯,求 𝑥5, 𝑥6, 𝑥5, 𝑥6, (−𝑥)3, (−𝑥)4, (−𝑥)3, (−𝑥)4. 命题：记𝑥 = 𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯，𝑦 = 𝑏0𝑏1 ⋯ 𝑏𝑛 ⋯为两个实数，则 x y 的等 价条件是：存在非负整数 n，使 n n x y （其中 n x 为 x 的 n 位不足近似， n y 为 y 的 n 位过剩近似）． 例：设 x y, 为实数， x y ，证明存在有理数 r ，满足 x r y ． 证 ． 由 x y ， 知 ： 存 在 非 负 整 数 n ，使得 n n x y ． 令 ( ) 1 2 n n r x y = + ，则 r 为有理数，且 n n x x r y y ．即 x r y ． ３、实数常用性质 ⚫ 封闭性（实数集Ｒ对 + − , , , ）四则运算是封闭的．即任意两 个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数． ⚫ 有序性 ： 任 意 两 个 实 数 ab, 必 满 足 下 列 关 系 之 一 ： a b a b a b = , , ． ⚫ 传递性； a b b c a c , ． ⚫ 阿基米德性： a b R b a n N , , 0 使得 na b ． ⚫ 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． ⚫ 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系． 例２．设 a b R , ，证明：若对任何正数 ，有 a b + ，则 a b ． （提示：反证法．利用“有序性”，取 = − a b ） 的方式加强学 生对新概念的 理解.再配合两 个简单的练习 题巩固学生的 记忆. 雨课堂-课堂习 题 【师】线上发布 测试. 【生】在线作 答. 【设计意图】检 测学生对集合 不足近似与过 剩近似概念掌 握情况. 教学难点 【师】实数的性 质是教学难点. 授课过程中结 合例题，使学生 在思考的过程 中理解并熟练 运用相关性质. 课程思政 【师】阿基米德 是古希腊数学 家、哲学家。他 曾说过：“给我 一个支点，我就 能撬起整个地 球。”阿基米德
的几何著作是希腊数学的顶二、绝对值与不等式峰，他把欧几里1、绝对值的定义得严格的推理方法与柏拉图a,a≥0鲜艳的丰富想实数α的绝对值的定义为α=[-a a<0象和谐地结合在一起，达到了2、几何意义：从数轴看，数α的绝对值a就是点α到原点的距离.认识到至善至美的境界。这一点非常有用，与此相应，x一α表示就是数轴上点x与α之间的距【设计意图】由离阿基米德的故事引申思政教3、性质育，鼓励学生勇1)[aH-a0,|a=0a=0(非负性);于探索创新.2)al;3)|akh-h<a<h,[ah-h≤a≤h.(h>0);4）对任何a,bR有|a|-ba±ba|+|bl（三角不等式);教学难点5[abal-[b];【师】实数绝对值的有关性质[al_ [al(b+0).6)以及常见的不[6]~16]等式是分析论练习题：证的重要工具，也是教学难点1证明：对任何xeR有授课过程中结(1) [x-1/+/x-21;合练习题，使学生在思考的过(2) 1x-1/+/x-2|+|x-32程中理解并熟练运用相关性2.证明：x-x-质和不等式。S1.2数集·确界原理一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设a,beR且a<b
二、绝对值与不等式 １、绝对值的定义 实数 a 的绝对值的定义为 , 0 | | 0 a a a a a = − ． ２、几何意义：从数轴看，数 a 的绝对值 | | a 就是点 a 到原点的距离．认识到 这一点非常有用，与此相应， | | x a − 表示就是数轴上点 x 与 a 之间的距 离． ３、性质 １） | | | | 0;| | 0 0 a a a a = − = = （非负性）； ２） − | | | | aaa ； ３） | | a h h a h − ，| | .( 0) a h h a h h − ； ４）对任何 a b R , 有 | | | | | | | | | | a b a b a b − + （三角不等式）； ５） | | | | | | ab a b = ； ６） | | | | a a b b = （ b 0 ）． 练习题： １．证明：对任何 x R 有 （１） | 1| | 2 | 1 x x − + − ； （２） | 1| | 2 | | 3| 2 x x x − + − + − . ２．证明： | | | | | | x y x y − − . §1.2 数集·确界原理 一、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围） 设 a b R , 且 a b . 的几何著作是 希腊数学的顶 峰，他把欧几里 得严格的推理 方法与柏拉图 鲜艳的丰富想 象和谐地结合 在一起，达到了 至善至美的境 界。 【设计意图】由 阿基米德的故 事引申思政教 育，鼓励学生勇 于探索创新. 教学难点 【师】实数绝对 值的有关性质 以及常见的不 等式是分析论 证的重要工具， 也是教学难点. 授课过程中结 合练习题，使学 生在思考的过 程中理解并熟 练运用相关性 质和不等式
开区间:(xeR|a<x<b)=(a,b)有限区间闭区间：(xeRa≤x≤b)=[a,b][闭开区间:(xeR|a≤x<b]=[a,b)半开半闭区间[开闭区间:(xeR|a<x≤b)=(a,b)区间(xe R[x≥a] =[a,+0)(xe R[x≤a)=(-00,a]无限区间(xR|x>a)=(a,+00)(xeR/x<a)=(-00,a)教学重点(xe R/-00 <x<+00] = R.【师】区间与邻2、邻域域的概念是教联想：“邻居”，字面意思：“邻近的区域”，与a邻近的"区域"很多，到底学重点内容.在哪一类是我们所要讲的"邻域"呢？就是“关于a的对称区间"；如何用数学语言讲授过程中要来表达呢？确保数学语言的严谨性与逻（1）a的s邻域：设aeR,s>0，满足不等式/x-ak的全体辑性。实数x的集合称为点a的邻域，记作U(a,)，或简记为U(a)，即U(a,0)=(x[x-ak8)=(a-,a+8)（2）点a的空心邻域U(a,8)=[x0 x-ak8)=(a-8,a)u(a,a+)@U(a)（3）a的右邻域和点a的空心右邻域Ut(a;)=[a,a+)=U.(a)=(x|a≤x<a+S);U(a;8)=(a,a+8)U(a)=(xa<x<a+8)（4）点a的左邻域和点a的空心8左邻域U-(a;8)=(a-8,a) U_(a)=(xla-8<x≤a);U(a;8) = (a- 8,a) U(a) = (xla- <x<a)（5）0邻域，+00邻域，-邻域U()=(xx>M)，（其中M为充分大的正数）U(+0)=(x|x> M), U(-) =(x|x<-M )二、有界集与无界集什么是界"？
| ( , ) . | [ , ]. | [ , ) | ( , ] | [ , ). | ( , ]. | ( , ). | ( , ). | . x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R = = = = = + = − = + = − − + = 开区间: 有限区间 闭区间: 闭开区间: 半开半闭区间 开闭区间: 区间 无限区间 2、邻域 联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．与 a 邻近的“区域”很多，到底 哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间”；如何用数学语言 来表达呢？ （１） a 的 邻域：设 a R , 0 ，满足不等式 | | x a − 的全体 实数 x 的集合称为点 a 的 邻域，记作 U a( ; ) ，或简记为 U a( ) ，即 U a x x a a a ( ; ) | | ( , ) = − = − + . （２） 点 a 的空心 邻域 ( ; ) 0 | | ( , ) ( , ) ( ) o o U a x x a a a a a U a = − = − + @ . （３） a 的 右邻域和点 a 的空心 右邻域 𝑈+(𝑎; 𝛿) = [𝑎, 𝑎 + 𝛿) ≜ 𝑈+(𝑎) = {𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑎 + 𝛿}; 𝑈+ 0 (𝑎; 𝛿) = (𝑎, 𝑎 + 𝛿) ≜ 𝑈+ 0 (𝑎) = {𝑥|𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿}. （４） 点 a 的 左邻域和点 a 的空心 左邻域 𝑈 − (𝑎; 𝛿) = (𝑎 − 𝛿, 𝑎] ≜ 𝑈−(𝑎) = {𝑥|𝑎 − 𝛿 < 𝑥 ≤ 𝑎}; 𝑈− 0 (𝑎; 𝛿) = (𝑎 − 𝛿, 𝑎) ≜ 𝑈+ 0 (𝑎) = {𝑥|𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎}. （５） 邻域， + 邻域， − 邻域 U x x M ( ) | | , = （ 其 中 Ｍ 为 充 分 大 的 正 数 ）； U x x M ( ) , + = U x x M ( ) − = − 二、有界集与无界集 什么是“界”？ 教学重点 【师】区间与邻 域的概念是教 学重点内容.在 讲授过程中要 确保数学语言 的严谨性与逻 辑性
定义1（上、下界)：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)使得一切xES都有x≤M(x≥L），则称S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集，问题延伸【师】提问已知若数集S不是有界集，则称S为无界集，有界的定义，那注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？无界的定义用看下例：数学语言如何描述？例1讨论数集N，=(nn为正整数）的有界性，【生】积极回答分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取L=1；上界【设计意图】激似乎无，但需要证明，发学生的学习解：任取nEN，显然有n≥1，所以N,有下界1；但N,无上兴趣和探索精神界。证明如下：假设N.有上界M,则M>0，按定义，对任意nEN.，都有n≤M，这是不可能的，如取n=[M]+l,则ngEN+，且n>M.综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集，（3）由有限个数组成的数集是有界集[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）三、确界与确界原理1、确界的定义引入新定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数n满足：（1）对一切【师】确界的定义是教学重点xeS,有x≤n（即n是S的上界）(2）对任何α<n，存在xS，使得内容.以提出问题的方式引出X>α（即n是S的上界中最小的一个），则称数n为数集S的上确界，记作确界的定义，加强学生对“确n=supS界”这一新概念的理解.再配合定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数≤满足：（1)对一切xES两个简单的练习题巩固学生有x≥（即是S的下界)；（2）对任何β>,存在xS,使得x<β的记忆.（即是S的下界中最大的一个），则称数5为数集S的下确界，记作
定义１（上、下界）： 设 S 为 R 中的一个数集．若存在数 M L( ) ， 使得一切 x S 都有 x M x L ( ) ，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数 M L( ) 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为 有界集． 若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集． 注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？ 看下例： 例 1 讨论数集 N n n + = | 为正整数 的有界性． 分析：有界或无界 上界、下界？下界显然有，如取 L =1 ；上界 似乎无，但需要证明． 解：任取 0 n N + ，显然有 0 n 1 ，所以 N+ 有下界１；但 N+ 无上 界．证明如下：假设 N+ 有上界 M,则 M>0，按定义，对任意 0 n N + ，都 有 0 n M ，这是不可能的，如取 0 n M = + [ ] 1, 则 0 n N + ，且 0 n M . 综上所述知： N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集． 例 2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无 界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集． [问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯 一 ，有无穷多个)． 三、确界与确界原理 １、确界的定义 定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切 x S , 有 x （即 是Ｓ的上界）; (2) 对任何 ，存在 0 x S ，使得 0 x （即 是Ｓ的上界中最小的一个），则称数 为数集Ｓ的上确界，记作 = sup . S 定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数 满足：（１）对一切 x S , 有 x （即 是Ｓ的下界）；（２）对任何 ，存在 0 x S ，使得 0 x （即 是Ｓ的下界中最大的一个），则称数 为数集Ｓ的下确界，记作 问题延伸 【师】提问已知 有界的定义，那 无界的定义用 数学语言如何 描述？ 【生】积极回 答. 【设计意图】激 发学生的学习 兴趣和探索精 神. 引入新定义 【师】确界的定 义是教学重点 内容.以提出问 题的方式引出 确界的定义，加 强 学 生 对 “ 确 界”这一新概念 的理解.再配合 两个简单的练 习题巩固学生 的记忆
E=infs上确界与下确界统称为确界雨课堂一课堂习例1讨论数集S=(xx为区间(0,1)中的有(无)理数的确界题【师】线上发布分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界，测试.提示：利用有理数集在实数集中的稠密性：supS=1,inf S=0【生】在线作答例2.设E=(-ln=1,2,)证明：supE=1,infE=【设计意图】检测学生对确界2、确界的性质知识掌握情况.。唯一性：若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的；。若数集S存在上、下确界，则有infS<supS；数集S的确界可能属于S，也可能不属于S；。存在性一定理1.1（确界原理）设S为非空数集，若S有上界，则教学难点【师】确界原理S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.是教学难点内例3设数集S有上界，证明：n=supSeS-n=maxS容.授课过程中结合例题，使学分析：由确界原理，SupS意义，按确界定义证明生在思考的过程中理解并熟例4、设A、B为非空数集，满足：对一切xEA和yEB有x≤y.证练运用确界原理解决具体问明：数集A有上确界，数集B有下确界，且supA≤infB题分析：首先，证明supA,infB.有意义，用确界原理，其次，证明sup A≤ inf B.例5设A、B为非空有界数集，S=AUB，证明：（1）sup S=max(sup A,sup B): (2) inf S=min(inf A,inf B)分析：首先，由S=AUB及A、B的性质知，S也是非空有界集：其次，证明（1）、（2）【生】总结知识点和思想方法。实数：实数及其性质、绝对值与不等式【师】鼓励学生课堂区间与邻域，确界的定义；勇于探索创新.小结集合的有界性，确界原理
= inf S . 上确界与下确界统称为确界 例 1 讨论数集 S x x = 为区间(0,1)中的有(无)理数 的确界． 分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界． 提示：利用有理数集在实数集中的稠密性． sup 1,inf 0. S S = = 例 2．设𝐸 = { 𝑛 𝑛+1 |𝑛 = 1,2, ⋯ }证明： 𝑠𝑢𝑝 𝐸 = 1, 𝑖𝑛𝑓 𝐸 = 1 2 . ２、确界的性质 ⚫ 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的； ⚫ 若数集Ｓ存在上、下确界，则有 inf sup S S ； ⚫ 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ； ⚫ 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则 Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界． 例 3 设数集Ｓ有上界，证明： = = sup max . S S S 分析：由确界原理， sup S 意义，按确界定义证明． 例 4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切 x A 和 y B 有 x y . 证 明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且 sup inf . A B 分析：首先，证明 sup ,inf . A B 有意义，用确界原理．其次，证明 sup inf . A B 例 5 设 Ａ 、 Ｂ 为 非 空 有 界 数 集 ， S A B = ， 证 明 ：（ １ ） sup max sup ,sup S A B = ；（２） inf min inf ,inf S A B = ． 分析：首先，由 S A B = 及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次， 证明（１）、（２）． 雨课堂-课堂习 题 【师】线上发布 测试. 【生】在线作 答. 【设计意图】检 测学生对确界 知识掌握情况. 教学难点 【师】确界原理 是教学难点内 容.授课过程中 结合例题，使学 生在思考的过 程中理解并熟 练运用确界原 理解决具体问 题. 课堂 小结 实数：实数及其性质、绝对值与不等式； 区间与邻域，确界的定义； 集合的有界性，确界原理. 【生】总结知识 点和思想方法。 【师】鼓励学生 勇于探索创新