西安毛子科技大学数学与统计学院School of mathematies and statistiesXIDIAN UNIVERSITY省等数学第七节无穷小的比较
第七节 无穷小的比较
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITY一.基本概念1.问题的提出两个无穷小的和、差、积均是无穷小；思考两个无穷小的商如何呢？
无穷小的比较 一. 基本概念 两个无穷小的和、差、积均是无穷小； 1.问题的提出 思考 两个无穷小的商如何呢？
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITY例如当x→0时，2x,x2,sinx都是无穷小x2=0,x2→0比 2x→0 快limX-0 2x1sinxlimsinx→0与2x→0快慢相仿2'2xx->02xlim2x→0比x2→0 慢8,x-0无穷小的商的极限反映了不同的无穷小趋于0的速度不一样
无穷小的比较 例如 无穷小的商的极限反映了不同的无穷小趋于0的速度不一样 当 x → 0 时， 2 0 lim x 2 x → x = 0, 都是无穷小 2 2 , , sin x x x 0 sin lim x 2 x → x 1 , 2 = 2 0 2 lim x x → x = , 2 x → 0 比 2 0 x → 快 sin 0 x → 与 2 0 x → 快慢相仿 2 0 x → 比 2 x → 0 慢
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIANUNIVERSITY2.定义 设α,β是自变量同一变化过程中的无穷小，且α≠00，称β是比α 高阶的无穷小,记作β=o(α);80，称β是比α低阶的无穷小；β若limac(+O)，称β与α是同阶无穷小;1，称β与α是等价无穷小，记作α～ββ●若lim≠0（k>O)，称 β是关于α的k阶无穷小Qk
无穷小的比较 称 是比 高阶的无穷小, 称 是比 低阶的无穷小; 2.定义 称 与 是同阶无穷小; 称 是关于 的 k 阶无穷小. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小，且 0. ⚫若 lim = 0, , c ( 0), 1, 称 与 是等价无穷小， ⚫若 lim 0 ( 0), k c k = 记作 = o( ); 记作 ~
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITS例如lim所以当x→0时，x2=o(sin x)0.x-0 sin x111lim当n→ 时，-是比一低阶的无穷小。8n-> n /nn- 4lim4.当x→2时，x2-4与x-2是同阶无穷小-2x-→2xsinxlim:1.当x→0时，sin x~x.x-0x
无穷小的比较 例如 2 0 lim x sin x → x = 0, 当 x → 0 时， 2 x o x = (sin ). 2 2 4 lim x 2 x → x − − = 4, 当 n → 时， 是比 低阶的无穷小. 1 n 2 1 n 0 sin lim 1, x x → x = 当 x → 0 时， sin ~ . x x 2 1 1 lim , n→ n n = 当 x → 2 时， 与 是同阶无穷小. 2 x − 4 x − 2 所以