西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathenmnties and sttisties雷等数学第五节函数的微分
第五节 函数的微分
西安毛子科技大学函数的微分XIDIAN UNIVERSITY一、微分的概念引例一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x变到x+△x，问此薄片面积A改变了多少?解当 x在x取得增量△x 时，面积的增量为XoArA =(x。 + Ax)? - x(△x)2Ax= 2xAx +(Ax)3XoAr关于△x的 △x→0 时为△xA=x-Xo线性函数?的高阶无穷小
函数的微分 一、微分的概念 0 x x 面积的增量为 0 x x 2 0 A = x 0 x x 2 ( ) x 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, x0 变到 x x 0 + , 问此薄片面积 A 改变了多少? 其边长由 解 的高阶无穷小 关于 的 →x 0 时为 x 线性函数 x
西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY定义1若函数 y=f(αx)在点 x的增量可表示为Ay = f(x +△r)- f(x) = A△x+o(△x)（A为不依赖于△x的常数）则称函数 = f(x)在点 x。可微，而 A△x称为f(x)在点xo的微分，记作dy或df(x)，即dy = Ax
函数的微分 而 A x 称为 在点 的微分,记作 或 即 dy A x = = + A x o x ( ) 则称函数 y f x = ( ) 在点 可微, 定义1 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于 的的常数)
西安毛子科技大学函数的微分XIDIAN UNIVERSITY理论上，利用定义完全可以检验函数在一点是否可微如 =x,Ay=(x +Ax)-x =3xAx +3x (Ax)* +(Ax)3关于Ax的r→0时为△r线性主部的高阶无穷小故y=x在其定义域内的每一点xo处都可微，且dy=3x△x但实际中，用定义判断函数在一点是否可微往往比较繁琐xAx如 y= sin x, Ay= sin(xo +△x)-sin X=2cosX +sin22有没有判定函数在一点可微行之有效的简便方法呢？
函数的微分 理论上,利用定义完全可以检验函数在一点是否可微. 但实际中，用定义判断函数在一点是否可微往往比较繁琐. 3 3 3 2 2 3 0 0 0 0 如 y x y x x x x x x x x = = + − = + + ， ( ) 3 3 ( ) ( ) 关于 x 的 线性主部 故 在其定义域内的每一点 处都可微，且 3 y x = 0 x 2 0 d 3 . y x x = 如 0 0 0 sin sin( ) sin 2cos sin . 2 2 x x y x y x x x x = = + − = + ， 有没有判定函数在一点可微行之有效的简便方法呢？ 0 x x y = 的高阶无穷小 →x 0 时为 x
西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY定理函数y=f(x)在点x可微的充分必要条件是y=f(x)在点x可导，且A=f(x)，即dy = f(xo)Ax证（必要性）已知y=f(x)在点x可微，则Ay = AAx + o(Ax)上式两边除以x，当△x→0时，0(△x)AylimlimA+即 f(x)=AAAr-0AxAr-A(Ax故y=f(x)在点x可导，且A=f'(x）
函数的微分 0 d ( ) . y f x x = 证 （必要性）已知 y f x = ( ) 在点 x0 可微，则 故y f x = ( )在点 x0 可导，且 A f x = ( )0 . 0 0 ( ) lim lim x x y o x A A → → x x = + = 上式两边除以 , x 当 →x 0 时， 0 即 ( ) f x A = = + y A x o x ( ). 定理 函数 y f x = ( ) 在点 x0 可微的充分必要条件是 y f x = ( ) 在 0 点 x 可导，且 A f x = ( )0 ，即