第一章习题选讲
第一章 习题选讲
1. 设f(x)定义在区间（-00,+）上,且对任意实数x,有 f(x+y)=f(x)+f(y),若f()在x=0连续证明f(x)对一切x都连续。解：由题意，对任意x，有lim f(x+△x)= lim [f(x)+ f(△x)]Ax-0Ax->0= f(x)+ f(0)= f(x+0) = f(x)所以f(x)在x处连续。2
2 1. 设 f (x) 定义在区间 上 , , 若 f (x) 在 连续, 解: lim ( ) 0 f x x x + → lim [ ( ) ( )] 0 f x f x x = + → = f (x) + f (0) = f (x + 0) = f (x) 且对任意实数 证明 f (x) 对一切 x 都连续 . 由题意，对任意𝑥，有 所以f (x) 在x处连续
2. 证明:若f(x)在点 xo连续,且 f(x)≠0,则存在X的某一邻域 U(xo),当 xU(x）时,f(x)0证：不妨设f(x）>0，由f(x)在点x.连续,则lim f(x)= f(xo)x-→xf(x)>0,38>0,当|x-x|<时即给定8=2有 If(x)-f(xo)kf(xo)<f(x)<=f(x), : f(x)即03
3 2. 证明: 若 f (x) 在点 0 x 连续,且 0 f x( ) 0, 0 x0 的某一邻域 U x( ), x U x ( )0 时， 0 当 f x( ) 0. 则存在 证: 不妨设 即给定 0 1 ( ) 0, 0, 2 = f x 当 0 x x − 有 0 0 1 | ( ) ( ) | ( ) 2 f x f x f x − 时 0 f x( ) 0, 由 f (x) 在点 0 x 连续, 则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 即 0 0 1 3 ( ) ( ) ( ), 2 2 f x f x f x 0 1 ( ) ( ) 0 2 f x f x
3.用极限的定义证明：若lim f(x)g(x) = 0, lim f(x) = 00,则limg(x)=0证：由于lim f(x)=0故对于 M=1,X>0 ,当 [x|≥>X 时,f(x)|>M=1又 lim f(x)g(x)=0 则对于V>0,X,>0,当 [x|>X,时,[f(x)g(x)|<8故取X=max(Xi,X)，则当[x>X时,恒有 |g(x)-0|=f(x)g(x)x) f(x)从而证明lim g(x)=0.4
3. 用极限的定义证明: 若lim ( ) ( ) 0,lim ( ) , lim g( )=0. 则 x x x f x g x f x x → → → = = 证: 4 当 x X 2 时， f x g x ( ) ( ) . 故取 X X X = max , 1 2 ，则当 x X 时， 恒有 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x − = 从而证明 lim g( )=0. x x → 当 x X 1 时， f x M ( ) 1 = . 又 lim ( ) ( ) 0 x f x g x → = 则对于 0, 0 X2 ， 由于 lim ( ) x f x → = 故对于 M X = 1, 0 1
4.求lim (1+2×+3*)*x>+α解： 令 f(x)=(1+2*+3)*=3[()*+()*+1]则3< f(x) <3.3x利用夹逼准则可知 lim f(x)=3.x-→>+o15. lim(x+e*)*X-01x解： 原式= elim(1+Yex-0ex2rex= elim(1+0x-01lim-e2e·exmex5
5 4. 求 lim (1 2 3 ) . 1 x x x x + + →+ 解 : 令 x x x f x 1 ( ) = (1+ 2 + 3 ) x x x 1 3 ( ) ( ) 1 32 31 = + + 则 3 f (x) x1 33 利用夹逼准则可知 lim ( ) = 3. →+ f x x 5. 1 0 lim( )x x x x e → + 解 : 原式 = 𝑒 lim𝑥→0 ( 1 + 𝑥𝑒𝑥 ) 1𝑥 = 𝑒 lim𝑥→0 ( 1 + 𝑥𝑒𝑥 ) 𝑒 𝑥𝑥 ∙ 1𝑒𝑥 = 𝑒 ∙ 𝑒 lim𝑥→0 1𝑒𝑥 = 𝑒 2