西安毛子科技大学数学与统计学院Schoolofmathematies and statistiesXIDIAN UNIVERSITY雪等数学第三节 高阶导数
第三节 高阶导数
西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITY一、高阶导数的基本概念引例设变速直线运动的位置函数为 s=s(t)v(t) = s(t)速度dsd加速度a= v(t) = (s'(t) =dt (dt这种s(t)导数的导数称为s(t)对t的二阶导数
高阶导数 一、高阶导数的基本概念 引例 d d ( ) ( ( )) d d s a v t s t t t = = = v t s t ( ) ( ) = 加速度 这种 s t( ) 导数的导数称为 s t( ) 对 t 的二阶导数． 设变速直线运动的位置函数为 s s t = ( )， 速度
西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITY定义1.若函数 y=f(x)的导数 =f(x)可导，则称f(x即的导数为f(x)的二阶导数,记作 J"或y)"=(y)或dx?dx dx类似地，二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作J(4)y",.., J(n)d'ydt yd" y或dx3,dx4:dxn
高阶导数 y y = ( ) 或 2 2 d d d( ) d d d y y x x x = 或 的导数为 f x( ) 的二阶导数,记作 或 即 阶导数的导数称为 n 阶导数,分别记作 定义1 若函数 y f x = ( ) 的导数 y f x = ( ) 可导, 则称 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推, n −1
西安毛子科技大学高阶导数KIDIANUNIVERSITY注（1）函数y=f(x)具有n阶导数，也称函数y=f(x)为n 阶可导。(2）如果函数f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某邻域内必定具有一切低于n阶的导数（3）二阶及二阶以上的导数通称高阶导数.相对于高阶导数也将函数y=f(x)的导数f(x)叫做y=f(x)的一阶导数
高阶导数 的某邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数． 也将函数y f x = ( )的导数 f x ( ) 叫做y f x = ( )的一阶导数． 注（1）函数 y f x = ( ) 具有 n 阶导数，也称函数 y f x = ( ) 为 （2）如果函数 f x( ) 在点 x 处具有 n 阶导数，那么 f x( ) 在点 x n 阶可导． （3）二阶及二阶以上的导数通称高阶导数.相对于高阶导数
西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITY几个初等函数的n阶导数公式例1 求指数函数y=α(a>0,al)的n 阶导数y'= a'(Ina解(lna))y"=(y')'=lna.a"Ina =a*y" =(y")'=(lna)?.a"Ina =a"(lna)y(4) =(y") =(lna)3 . a"Ina=α"(lna)一般地，归纳可得 j(n)=α"(lna)"，即(a")(m) =a"(lna)" (xeR) (e')(m) =e" (xeR)
高阶导数 几个初等函数的 n 阶导数公式 例1 求指数函数 ( 0, 1) 的 阶导数． x y a a a = n 解 y y a = = ( ) ln ln x y a a = ， 2 y y a = = ( ) (ln ) 一般地，归纳可得 ( ) (ln ) , n x n y a a = 即 ( ) (e ) e ( ). x n x = x R ( ) ( ) (ln ) ( ) x n x n a a a x = R ln x a a 2 (ln ) x = a a ， ln x a a 3 (ln ) x = a a ， (4) 3 y y a = = ( ) (ln ) ln x a a 4 (ln ) x = a a