西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathenmnties and sttisties西等数学第一节微分中值定理
第一节 微分中值定理
西安毛子科技大学微分中值定理XIDIAN UNIVERSITY一.微分中值定理的引入y观察右图，AB：=f(x)特点：f(a)= f(b)1：在[a,b]上连续y= f(x)2：除端点外处处有不垂直X0a5bx轴的切线(可导)D3: f(a) = f(b)结论：曲线最高处或最低处有水平切线，即f'() = 0罗尔定理
微分中值定理 一. 微分中值定理的引入 f a f b ( ) ( ) = B y f x = ( ) A a b x yO C D 特点： 观察右图， AB y f x : ( ) = 1：在 [ , ] a b 上连续 2：除端点外处处有不垂直 x 3： f a f b ( ) ( ) = 结论：曲线最高处或最低处有水平切线，即 f ( ) 0 = 罗尔定理 轴的切线(可导)
西安毛子科技大学微分中值定理IDIAN UNIVERSITY费马（fermat）引理引理设 f(x)在 xo的某个邻域U(xo)内有定义且在Xo处可导，若对任意 x EU(xo),有f(x)≤ f(xo)(f(x)≥ f(xo)则f(x) = 0证不妨设 VxeU(xo)时，f(x)≤ f(xo), (0 + Ax)- f(x0) = f(x0)lim AxAx->0当 Ax>0 时, I(+)-() ≤0→ J(%)≤0△xf'(x)= 0当 Ax<0 时, F(o +An)-() ≥0 = f()≥0△x
微分中值定理 费马(fermat)引理 引理 设 f x( ) 在 x0 的某个邻域 U( ) x0 内有定义 且在 x0 处可导，若对任意 x x U( ), 0 有 0 0 f x f x f x f x ( ) ( ) ( ( ) ( )) 则 0 f x ( ) 0 = 0 f x f x ( ) ( ) ， 0 0 ( ) ( ) 0 f x x f x x + − 0 f x + ( ) 0 0 f x －( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x f x x f x f x → x + − = 0 证 不妨设 x x U( )0 时， 当 x 0 时， 0 0 f x x f x ( ) ( ) x + − 当 x 0 时， 0 = f x ( ) 0
西安毛子科技大学微分中值定理XIDIAN UNIVERSITY二.罗尔定理定理1 (罗尔定理)如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3) f(a)= f(b),则在 (a,b)内至少存在一点≤，使得 f()=0证由于f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上一定取得最大值M和最小值m
微分中值定理 定理1 (罗尔定理) 二. 罗尔定理 (1) 在闭区间 a b, 上连续; (2) 在开区间 ( , ) a b 内可导; (3) f a f b ( ) ( ), = 证 由于 f x( ) 在 a b, 上连续, f x( ) 在 a b, 上一定取得最 大值 M 和最小值 m. 则在 ( , ) a b 内至少存在一点 ，使得 f ( ) 0. = 如果函数 f x( ) 满足
西安毛子科技大学微分中值定理XIDIANUNIVERSIT(1)如果 M=m，则 f(x)=M(常数),因此任取 E(a,b),都有 f()=0,结论成立.(2)如果 M ± m，则 M 和m至少有一个不等于f(a)和f(b),不妨设 M ≠ f(a), 这时 M ≠ f(b)则存在 三E(a,b), 使得 f()= M即对 VxE[a,b],有 f(x)≤f()由费马引理知：f'()=0
微分中值定理 则存在 ( , ), a b 使得 f M ( ) . = (1) 如果 M m= , 都有 f ( ) 0, = 结论成立. (2) 如果 M m ， 由费马引理知： f ( ) 0. = 则 f x M ( ) (常数),因此任取 ( , ) a b ， 则 M 和 m 至少有一个不等于 f a( ) 和 f b( ), 不妨设 M f a ( ), 这时 M f b ( ). 即对 x a b [ , ], 有 f x f ( ) ( ).