西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathemnties andstatistics高等数学第·节函数的连续性与间断点
第八节 函数的连续性与间断点
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIAN UNIVERSITY、函数的连续性变到u21.增量设变量u从u称 △u= -u为变量u的增量 =u +u若△u>O，则u,>u，变量是增大的;若△u<O，则u，变量是减小的
函数的连续性与间断点 1.增量 设变量 u 从 1 u 2 u 变到 2 1 = u u u − 为变量 u 的增量 则 u u 2 1 ， 变量是增大的； 变量是减小的. 一、函数的连续性 若 u 0 ，则 u u 2 1 ， 若 u 0 ， 称 2 1 u u u = +
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIANUNIVERSITY函数的增量设函数y=f(x)在点x。的某一邻域内有定义变到J当x从xXo+Axy= f(x)f(x +Ax)△y变到f(xo)f(x) 从f(x)Axf(x +△x)olXoXo+Axx称△y=f(x。+△x)-f(x）为函数的增量如果△x→0时，△y→0,称=f(x)在点x处是连续的
函数的连续性与间断点 设函数 y f x = ( ) 在点 0 x 的某一邻域内有定义 x 从 0 x 变到 当 0 x x + f x( ) 从 0 f x( ) 变到 0 f x x ( ) + 0 0 称 = y f x x f x ( ) ( ) + − 为函数的增量. O x y y f x = ( ) 0 x x + 0 x 0 f x x ( ) + 0 f x( ) x y 如果 →x 0 时， →y 0, 称 y f x = ( ) 在点 0 x 处是连续的. 函数的增量
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIAN UNIVERSITY2．函数在一点的连续性定义1 设函数y=f(x)在点 x的某一邻域内有定义，如果lim Ay=0 或 lim[f(x +△x)-f(x)]= 0就称函数y=f(x)在点x。处连续lim[(x0 +Ax)-(x0)= 0 设x=$ +lim f(x)= f(xo)X>x定义1’设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，如果lim f(x)= f(xo)就称函数y=f(x)在点x处连续8-8定义>0,3>0, 当x-x8 时，有|f(x)-f(x)<8
函数的连续性与间断点 2. 函数在一点的连续性 设函数 y f x = ( ) 在点 0 定义1 x 的某一邻域内有定义，如果 0 lim 0 x y → = 就称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处连续.0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → 或 + − = 设 0 x x x = + 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0, 0, 0 f x f x ( ) ( ) − 0 当 x x − 时，有 − 定义 0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → + − = 设函数 y f x = ( ) 在点 0 定义1’ x 的某一邻域内有定义，如果 就称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处连续. 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → =
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIANUNIVERSITY如果定义2如果lim f(x)= f(x)lim f(x) = f(xo),F称y=f(x)在点x左连续；称y=f(x)在点x右连续即即f(x)=f(x),f(x)=f(x),→ f(x)= f(x)= f(x)定理函数f(x)在点x连续食
函数的连续性与间断点 定义2 如果 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → − = 称 y f x = ( ) 在点 0 x 左连续； 如果 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = 称 y f x = ( ) 在点 0 x 右连续. 定理 0 0 0 f x f x f x ( ) ( ) ( ) − + 函数 f x( ) 在点 x0 连续 = = 0 0 f x f x ( ) ( ), − 即 = 0 0 f x f x ( ) ( ), + 即 =