西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathemnties and stntisties高等数学第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等 函数的连续性
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIAN UNIVERSIT一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理1 若f(x),g(x)在点 处连续，则(1)f(x)±g(x)在xo处连续；(2)f(x)·g(x）在xo处连续；(3) 当 g(x)0 时, ),在x处连续g(x)由函数在点x连续的定义和极限的四则运算法则可证
连续函数的运算与初等函数连续性 定理1 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 若 f x g x ( ), ( ) 在点 x0 处连续, 则 (1) f x g x ( ) ( ) 在 x0 处连续； (2) f x g x ( ) ( ) 在 x0 处连续； (3) 当 g x( ) 0 0 时， 在 x0 处连续. ( ) ( ) f x g x 由函数在点 x0 连续的定义和极限的四则运算法则可证
西要毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIANUNIVERSITY两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）是连续的推广有限个连续函数的和、差、积是连续的例1 sinx,cosx在（-,+）上连续11sinxcosxcotx:tanxsecxCSCXsinxsin xcos.xcosx在其定义域内连续结论三角函数在其定义域内都是连续的
连续函数的运算与初等函数连续性 在其定义域内连续. 结论 三角函数在其定义域内都是连续的. 推广 有限个连续函数的和、差、积是连续的. 两个连续函数的和、差、积、商(分母不为零时)是连续的. 例1 在 ( , ) − + 上连续
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIAN UNIVERSITY二、反函数的连续性定理2 若y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续则其反函数 x=f-(y)也在对应区间I,=(yly=f(x),xeI)上单调增加(或单调减少)且连续。（证明略）简单地说单调连续函数的反函数是连续的
连续函数的运算与初等函数连续性 则其反函数 二、反函数的连续性 简单地说 单调连续函数的反函数是连续的. 定理2 若 y f x = ( ) 在区间 I x 上单调增加(或单调减少)且连续， 也在对应区间 1 x f y( ) − = { | ( ), } y x I y y f x x I = = 上单调增加(或单调减少)且连续. (证明略)
西要毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIANUNIVERSITY例2函数=sinx在【-，］上单调增加且连续，其反函数x=arcsiny在[-1,1]上也单调增加且连续y=arcsinx在[-1,1]上单调增加且连续同理y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续y=arctan x在（-o0,o)上单调增加且连续y=arccotx在(-oo,oo)上单调减少且连续结论反三角函数在其定义域内都是连续的
连续函数的运算与初等函数连续性 例2 函数 在 上单调增加且连续, 其反函数 x y = arcsin 在 上也单调增加且连续, 在 上单调增加且连续. y x = arctan 在 上单调增加且连续, 结论 反三角函数在其定义域内都是连续的. 同理 y x = arccos 在 上单调减少且连续, y x = arccot 在 上单调减少且连续