西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool ofmathenmntics and stntisties西等数学第二节函数的求导法则
第二节 函数的求导法则
西安毛子科技大学函数的求导法则XIDIAN UNIVERSITY函数的和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数f(x)及g(x)都在点x 可导，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）都在点x可导，且(1) [f(x)±g(x)}'= f'(x)±g(x);(2) [f(x)·g(x)}'= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x);f(x)f(x)g(x)- f(x)g(x)(3)(g(x) ± 0).g (x)g(x)
函数的求导法则 一、 函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 如果函数 f x( ) 及 g x( ) 都在点 x 可导，那么它们的和、 差、积、商(分母不为零）都在点 x 可导，且 （1） [ ( ) ( )] ( ) ( ); f x g x f x g x = （2） [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); f x g x f x g x f x g x = + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0). ( ) ( ) f x f x g x f x g x g x g x g x − = （3）
西安毛子科技大学函数的求导法则XIDIANUNIVERSITY证仅对乘积形式的求导公式给出证明[(x) g(x)= lim (x+Ax)g(x+Ar)-(x)g()AxAx->0f(x +△x)g(x+△x)- f(x)g(x+Ax)+ f(x)g(x+△x)- f(x)g(x)= limArAx->0F(x+Ar)-f() im g(x+ Ax)+ f(x) im g(x +△x)- g(x):limAr→>0AxAxAr->0Ax故公式成立= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x)
函数的求导法则 证 仅对乘积形式的求导公式给出证明 [ ( ) ( )] f x g x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x f x x g x x f x g x → x + + − = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) x f x x g x x f x g f x g x x f x x g x x x → + + − − + = + + 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim x x x f x x f x g x x g x g x x f x → → → x x + − + − = + + = + f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ). 故公式成立
西安毛子科技大学函数的求导法则XIDIAN UNIVERSITY注 1公式（1）（2）可以推广到有限个可导函数的情形，如[f(x)+g(x)+h(x))'= f'(x)+g'(x)+h'(x)[f(x)·g(x). h(x))' = f'(x)g(x)h(x)+ f(x)g'(x)h(x)+ f(x)g(x)h(x2 公式（2）中取g(x)=C,可得[C·f(x)}=C·f(x)
函数的求导法则 注 1 [ ( )+ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) f x g x h x f x g x h x + = + + [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x = + + 公式（1）（2）可以推广到有限个可导函数的情形，如 2 公式（2）中取 g x C ( ) , = 可得 [ ( )] ( ) C f x C f x =
西要毛子科技大学函数的求导法则XIDIANUNIVERSITY例1 设 f(x)=log。x,其中 a>0,a≠l, 求f(x)Inx解由换底公式 f(x)Ina1111in(lnx)"故f'(x)=InaxlnaInaxIna(loga x)即xlna
函数的求导法则 解 即 ( ) 1 log ln a x x a = 例1 设 ( ) log , 求 f x ( ). a f x x = 其中 a a 0, 1, ln ( ) ln x f x a 由换底公式 = 故 ln ln x a = 1 (ln ) ln x a = 1 1 ln a x =