2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 a3=(1,1,0),显然这个向量组是线性相 关的,其中c1和a2可以互相线性表示,但是a3 不能由a1,a2线性表示.其余是指除它本身以 外的向量,因为每个向量是自然能由自己线性 表出的 按定义,向量组a1,a2,…,a线性无关当且 仅当向量方程 k1a1+k2a2+…+k,Cs=0 只有零解 将向量a1,a2,…,a、按列排成一个矩阵, 记作A,即A=(a1,a2,…,a,),则向量组 a1,a2,…,a,线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 Ax=o 有非零解 如果向量的个数比向量的维数多,也就是方 程组中方程的个数少于未知数个数,方程组一定 有非零解,因此有结论: 向量个数大于向量维数时向量组线性相关, 或更直接地说,任何n+1个n维向量线性相关 当向量个数和向量维数一样多时,矩阵A
2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—6 ( T α 3 = 1, 1, 0) ，显然这个向量组是线性相 关的，其中α1和α 2可以互相线性表示，但是α 3 不能由α1，α 2线性表示．其余是指除它本身以 外的向量，因为每个向量是自然能由自己线性 表出的． 按定义，向量组α α α s , , , 1 2 L 线性无关当且 仅当向量方程 k1α 1 + k2α 2 + L+ ksα s = 0 只有零解． 将向量α α α s , , , 1 2 L 按列排成一个矩阵， 记作 A，即 A＝（α α α s , , , 1 2 L ），则向量组 α α α s , , , 1 2 L 线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 Ax = 0 有非零解． 如果向量的个数比向量的维数多，也就是方 程组中方程的个数少于未知数个数，方程组一定 有非零解，因此有结论： 向量个数大于向量维数时向量组线性相关， 或更直接地说，任何n + 1个n维向量线性相关． 当向量个数和向量维数一样多时，矩阵 A
2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 是方阵,方程组的解可以用行列式来判断,于是 有结论 n个n维向量a1,a2,…,an线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于0.即 1,22y,Cn|=0 向量组的线性相关性的定理很多,其中最重 要的是这几个: (1)若a1,a2,…,a线性无关,而 a1,a2,…,ax,月线性相关,则可由 ,a线性表出,且表示法惟 (2)若a1,a2,,a、可由B1,B2,…,B1线性 表出,且S>t,则a1,a2,…,a线性相关 (3)若a1,a2,…,C线性无关且可由 B1,2,…,B线性表出,则s≤t 以下这些性质也是很有用的 (1)包含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量组中如果有部分向量线性相关 则整个向量组线性相关 (3)一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关 (4)一个线性相关的向量组,如果每一个向 量都删去同一序号的分量,得到一个维数较低的
2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—7 是方阵，方程组的解可以用行列式来判断，于是 有结论： n个n维向量α α α n , , , 1 2 L 线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于０．即 α α α n , , , 1 2 L ＝０． 向量组的线性相关性的定理很多，其中最重 要的是这几个： （１）若α α α s , , , 1 2 L 线性无关，而 α1 ,α 2 ,L,α s ,β 线性相关, 则β 可由 α α α s , , , 1 2 L 线性表出，且表示法惟一． （２）若α α α s , , , 1 2 L 可由β β β t , , , 1 2 L 线性 表出，且s > t ，则α α α s , , , 1 2 L 线性相关． （３）若α α α s , , , 1 2 L 线性无关且可由 β β β t , , , 1 2 L 线性表出，则s ≤ t ． 以下这些性质也是很有用的： （１） 包含零向量的向量组必线性相关． （２） 一个向量组中如果有部分向量线性相关， 则整个向量组线性相关． （３） 一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关． （４） 一个线性相关的向量组，如果每一个向 量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的