另解两道课外练习题 郑泉水 (顺平县教育局教研室,河北保定072250) 题1《中学生数学218年7月下初三课外结习题第2题)如图2,在 下初三课外练习题第1题)如图1,四边形Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20, ABCD的面积为133,且∠B=30,∠C 点D在AC上,AD=5,DE⊥BC于E,求 △ABE的面积 60°,BC=8,CD=1,求线段AB之长 图2 解在Rt△ABC中,由勾股定理可求得: 解析根据∠B=30,∠C=60联想到构BC=25 造两个含30°角的特殊直角三角形,于是 由∠BAC=90°,DE⊥BC 分别过A,D向BC边作垂线,垂足为E,F 得△CDE∽△CBA 在Rt△CDF中,∠C=60°,CD= 故有 CD CE 15 CE 则CF=,DF 解得CE=12. 在Rt△AEB中,∠B=30°,BC=8, 故BE=13 若设AE=x 而BC=25, 则AB=2x,BE=√3x. 故S△ABE=25 150=78. 由四边形ABCD的面积为8 评析上述解法是根据相似三角形求得 2S△ABE+2S稀形AEFD+2 SACFD=133,即 CE的值,进而知道了BE的值,再根据“等高 的两个三角形面积之比等于它们的底之比”求 +2+(x+2)8--2)+1得△ABE的面积,解法简洁明快! (责审韩乐琴) 整理,得4√3+6x=13√3 4 解得2x=3 智慧窗《巧排等式》 评析上述解法是根据已知条件的特征 参考答案 产生联想,思路自然顺畅,有水到渠成之感 90×23+68÷17-54=2020 Q题2《中学生数学)2018年7月 68×31+54÷27-90=2020 网址
思路与方法 另解两道课外练习题 郑泉水 (顺平县教育局教研室,河北 保定 ０７２２５０) 题１ («中学生数学»２０１８年７月 下初 三 课 外 练 习 题 第 １ 题)如 图 １,四 边 形 ABCD 的 面 积 为 １３ ３ ２ ,且 ∠B ＝３０°,∠C ＝ ６０°,BC＝８,CD＝１,求线段AB 之长． 图１ 解析 根据∠B＝３０°,∠C＝６０°联想到构 造两个含３０°角的特殊直角三角形,于是: 分别过A,D 向BC 边作垂线,垂足为E,F． 在 Rt△CDF 中,∠C＝６０°,CD＝１, 则CF＝ １ ２ ,DF＝ ３ ２ ． 在 Rt△AEB 中,∠B＝３０°,BC＝８, 若设AE＝x, 则AB＝２x,BE＝ ３x． 由四边形ABCD 的面积为 １３ ３ ２ ,得 ２S△ABE ＋２S梯形AEFD ＋２S△CFD ＝１３ ３,即 ３x２＋(x＋ ３ ２ )(８－ ３x－ １ ２ )＋ １ ２ × ３ ２ ＝１３ ３． 整理,得４ ３＋６x＝１３ ３． 解得２x＝３ ３． 评析 上述解法是根据已知条件的特征 产生联想,思路自然顺畅,有水到渠成之感． 题２ («中学生数学»２０１８年７月 下 初 三 课 外 练 习 题 第 ２ 题 )如 图 ２,在 Rt△ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝１５,AC＝２０, 点 D 在 AC 上,AD ＝５,DE ⊥BC 于 E,求 △ABE 的面积． 图２ 解 在 Rt△ABC 中,由勾股定理可求得: BC＝２５． 由∠BAC＝９０°,DE⊥BC, 得△CDE∽△CBA． 故有 CD CB ＝ CE CA ,即 １５ ２５ ＝ CE ２０ ． 解得CE＝１２． 故BE＝１３． 而BC＝２５, 故S△ABE ＝ １３ ２５ S△ABC ＝ １３ ２５ ×１５０＝７８． 评析 上述解法是根据相似三角形求得 CE 的值,进而知道了 BE 的值,再根据“等高 的两个三角形面积之比等于它们的底之比”求 得△ABE 的面积,解法简洁明快! (责审 韩乐琴) 智慧窗《巧排等式》 参考答案 ９０×２３＋６８÷１７－５４＝２０２０, ６８×３１＋５４÷２７－９０＝２０２０． 网址:zxss．cbpt．cnki．net １７邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
丝 2020在2月下 变换题目中条件和结论,一题变四题 刘祥军叶向荣 (自贡市嘉祥外国语学校,四川自贡643014) 变换题目中的条件和结论进行一题多变,于E,DF⊥AB于F,AC∥DE,CE平分 可以提高我们学习数学的积极性,增强学习数ACB,求证:DF平分∠BDE 学的兴趣,更可以培养我们数学思维的灵活 分析由于CE⊥AB,DF⊥AB,则CE 性.下面以平行线判定和性质中的一道经典几∥DF,根据平行线的性质得∠1=∠4,∠2= 何题为例,变换题目的条件与结论有效地进行∠3,再由AC∥DE得∠3=∠5,所以∠ 一题多变 ∠5,因为CE是∠ACB的平分线,则∠4= 题目如图1 ∠5,于是得到∠1=∠2 在△ABC中,CE⊥AB 于E,DF⊥AB于F,AC ∥ED,DF平分∠BDE 求证:CE平分∠ACB 分析本题主要考 查平行线的性质和判定,掌握两直线平行的性 质和判定是解题的关键,由CE与DF都与 变式3如图4,在△ABC中,CE⊥AB AB垂直得到DF与CE平行,利用两直线平于点E,DF⊥AB于点F,CE平分∠ACB, 行内错角相等得到一对角相等,再由AC与DF平分∠BDE,求证:AC∥ED ED平行得到一对内错角相等,等量代换得到 分析根据垂直证明DF∥CE,利用平行 ∠EDF=∠ACE,∠BDF=∠BCE,由已知线的性质和角平分线的定义得出∠ACE= 角相等,等量代换即可得证 ∠DEC,进而利用平行线判定解答即可 变式1如图2所 对于以上变式题,是基于原例题进行的 在△ABC中,CE⊥AB于 些变化,虽打破了原例题题设条件和结论之间 点E,CE平分∠ACB,AC 的组织框架,但我们仍可遵循原例题的解题思 ∥ED,DF平分∠BDE,求 路进行解题.像这种变换题目中的条件和结 证:DF⊥AB 论,对我们初中同学数学学习兴趣和数学解题 分析此题可先证 图2 能力的提高以及养成良好的数学学习习惯是 明AC∥DE,结合平行线的性质可得到有很大帮助的对于一道题,我们可以从多角 4 ∠ACB=∠EDB,再利用角平分线的定义可度,多侧面去探求,去发现数学中的规律,从而 教 证得∠BDF=∠BCE,可判定CE∥DF,可得提高我们思维的灵活性,并进一步提高其解题 到∠DFB=∠CEF,可证得结论 能力和增强应变能力 变式2如图3,在△ABC中,CE⊥AB (责审刘晓玫) 网址 .cbpt cnki.net 18 邮箱:zxs82486@16
变换题目中条件和结论,一题变四题 刘祥军 叶向荣 (自贡市嘉祥外国语学校,四川 自贡 ６４３０１４) 变换题目中的条件和结论进行一题多变, 可以提高我们学习数学的积极性,增强学习数 学的兴趣,更可以培养 我 们 数 学 思 维 的 灵 活 性．下面以平行线判定和性质中的一道经典几 何题为例,变换题目的条件与结论有效地进行 一题多变． 图１ 题目 如 图 １, 在 △ABC 中,CE ⊥AB 于E,DF⊥AB 于F,AC ∥ED,DF 平分 ∠BDE． 求证:CE 平分∠ACB． 分析 本 题 主 要 考 查平行线的性质和判定,掌握两直线平行的性 质和判 定 是 解 题 的 关 键,由 CE 与 DF 都 与 AB 垂直,得到DF 与CE 平行,利用两直线平 行内错角相等得到一对角相等,再 由 AC 与 ED 平行得到一对内错角相等,等量代换得到 ∠EDF＝ ∠ACE,∠BDF ＝ ∠BCE,由 已 知 角相等,等量代换即可得证． 图２ 变式１ 如图２所示, 在△ABC 中,CE⊥AB 于 点E,CE 平分∠ACB,AC ∥ED,DF 平分∠BDE,求 证:DF⊥AB． 分析 此 题 可 先 证 明AC ∥ DE,结 合 平 行 线 的 性 质 可 得 到 ∠ACB＝∠EDB,再利用角平分线的定义可 证得∠BDF＝∠BCE,可判定CE∥DF,可得 到∠DFB＝∠CEF,可证得结论． 变式２ 如图３,在 △ABC 中,CE⊥AB 于E,DF ⊥AB 于 F,AC ∥DE,CE 平 分 ∠ACB,求证:DF 平分∠BDE． 分析 由于 CE⊥AB,DF⊥AB,则 CE ∥DF,根据平行线的性质得∠１＝∠４,∠２＝ ∠３,再由 AC∥DE 得 ∠３＝ ∠５,所 以 ∠２＝ ∠５,因 为 CE 是 ∠ACB 的 平 分 线,则 ∠４＝ ∠５,于是得到∠１＝∠２． 图３ 图４ 变式３ 如图４,在 △ABC 中,CE⊥AB 于点E,DF ⊥AB 于 点F,CE 平 分 ∠ACB, DF 平分∠BDE,求证:AC∥ED． 分析 根据垂直证明DF∥CE,利用平行 线的 性 质 和 角 平 分 线 的 定 义 得 出 ∠ACE ＝ ∠DEC,进而利用平行线判定解答即可． 对于以上变式题,是基于原例题进行的一 些变化,虽打破了原例题题设条件和结论之间 的组织框架,但我们仍可遵循原例题的解题思 路进行解 题．像 这 种 变 换 题 目 中 的 条 件 和 结 论,对我们初中同学数学学习兴趣和数学解题 能力的提高以及养成良好的数学学习习惯是 有很大帮助的．对于一道题,我们可以从多角 度,多侧面去探求,去发现数学中的规律,从而 提高我们思维的灵活性,并进一步提高其解题 能力和增强应变能力． (责审 刘晓玫) 网址:zxss．cbpt．cnki．net １８邮箱:zxss２４８６＠１６３．com