解析几何中的定点问题 解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点,也是解析几何问题中的一个难点,在求 解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率,对学生思维的深度,做题的专注 度,以及基本运算能力的培养,都有非常积极的意义。解析几何中的定点问题的求解,实质 就是等式恒成立问题的求解 直线中的定点问题 例1.已知a∈R,直线l:(a-1)x+2ay+3=0,求直线l经过的定点的坐标 解:由a(x+2y)+(3-x)=0,Va∈R知, 解得: 所以直线l经过定点(3, 变式:已知实数a,bc满足b+c=2a,直线l:ax+b+c=0,过点P(2,3)作直线l的 垂线,垂足为M,O为坐标原点,求线段OM的最大值 解:因为b+C=2a,ax+by+c=0 所以ax+(2a-c)y+c=0, 即a(x+2y)+c(-y+1)=0,Va,c∈R x+2y=0 所以 解得 =1 所以直线经过定点以(-2,1),点M在以PQ为直径的圆x2+(y-2)=5上, 由几何性质知OM的最大值为2+√ 圆中的定点问题 例2.已知F(1,0)椭圆C1的右焦点且F为双曲线C2的右顶点,椭圆C1与双曲线C2的一个 交点是M(,x).若点P是双曲线右支上的动点,直线PF交y轴于点Q,试问 以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?证明你的结论 解:由题意役椭圆C的方程是+y2=1,双曲线C的方程是x2-2=1 则2a=MF+MF1= +43-43,5 a1=√2,b=1,椭圆C1的方程是x+y2=1, 由点M在双曲线上:3运=1,得b2=1,所以双曲线C2的方程是x2-y2=1, 设P(x0,y0),则x02-y2=1,直线PF2的方程为y=y0(x-1)得 Q(0-y0),FF=(x+1,y),Q=(,-,)
解析几何中的定点问题 解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求 解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注 度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。解析几何中的定点问题的求解，实质 就是等式恒成立问题的求解。 一.直线中的定点问题 例 1. 已知 aR ，直线 l ：( 1) 2 3 0 a x ay − + + = ，求直线 l 经过的定点的坐标 解：由 a x y x ( 2 ) 3 0 + + − = ( ) ，a R 知， 2 0 3 0 x y x + = − = ，解得： = − = 2 3 3 y x 所以直线 l 经过定点 ) 2 3 （3,− 变式：已知实数 abc , , 满足 b c a + = 2 ，直线 l ： ax by c + + = 0 ，过点 P(2,3) 作直线 l 的 垂线，垂足为 M ，O 为坐标原点，求线段 OM 的最大值 解： 因为 b c a + = 2 ， ax by c + + = 0 所以 ax + (2a − c) y + c = 0 ， 即 a（x + 2y) + c(−y +1) = 0，a,c R 所以 − + = + = 1 0 2 0 y x y ，解得 = = − 1 2 y x 所以直线 l 经过定点 Q (−2,1) ，点 M 在以 PQ 为直径的圆 ( ) 2 2 x y + − = 2 5 上， 由几何性质知 OM 的最大值为 2 5 + ． 二.圆中的定点问题 例 2.已知 F(1,0) 椭圆 C1 的右焦点且 F 为双曲线 C2 的右顶点，椭圆 C1 与双曲线 C2 的一个 交点是 M 2 3 3 ( , ) 3 3 ．[]若点 P 是双曲线右支上的动点，直线 PF 交 y 轴于点 Q ，试问 以线段 PQ 为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论． 解：由题意设椭圆 C1 的方程是 2 2 2 2 1 1 1 x y a b + = ，双曲线 C2 的方程是 2 2 2 2 1 y x b − = ， 则 1 1 2 2a MF MF = + 8 4 3 8 4 3 3 3 + − = + = 2 2 ， ∴ 1 a = 2 ， 1 b =1 ，椭圆 C1 的方程是 2 2 1 2 x + = y ， 由点 M 在双曲线上得： 2 2 4 1 1 3 3b − = ，得 2 2 b =1 ，所以双曲线 C2 的方程是 2 2 x y − =1， 设 P（x0 , y0） ，则 1 2 0 2 x0 − y = ，直线 PF2 的方程为 ( 1) 0 1 0 − − = x x y y 得 ) 1 0, 0 0 − − x y Q（ ， 0 1 0 0 1 0 1 1 1 F P x y FQ y x = + = − − （ ， ）， （， ）
FPFO=(xo+D-yo.o FP⊥FQ ∴以线段PQ为直径的圆恒过定点F(-10) 变式1:已知圆C:(x+1)2+y2=4,O为坐标原点,A为平面内一定点,对于圆C上任 意一点P,都有PA=2PO求点A的坐标 解:设A(m,n)P(x,y),由PA=2PO,得(x-m)2+(y-n)2=4(x2+y2), 化简得:3x2+3y2+2mx+2my-m2-n2=0,又因为x2+y2+2x-3=0 所以(2m-6x+2my+9 0,因为对任意的x,y恒成立 所以m=3,n=0 所以A(3,0) 变式2:已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2(x-3)2+(y-4)2=1,若动圆C同时平分 圆C1和园C2的周长,则动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标:若不经过,请说 明理由。 解:设圆心C(x,y),由题意得:CC1=CC2, 即(x+1)2+y2=√(x-3)2+(y-4)2整理得:x+y-3=0 即圆心在直线x+y-3=0上运动 设C(m,3-m) 则动圆的半径为:④+(C1)2=1+(m+12+(3-,m 所以动圆C的方程为:(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m 即x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,Vm∈R 3√2 3√2 由{-y+1=0 x=1+ 解得 6y-2=0 33 3√2 即动圆C过定点(1+3√22+32,④1-32,2-32) 2 三.圆锥曲线中的定点问题(常化归为直线中定点问题) (一)椭圆中相关定点问题 例.已知椭圆Ca2b2=1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴 长为半径的圆与直线x-y+√6=0相切。设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的 任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与x轴交于定点Q 解:由题意知e=C=1
0 0 1 1 0 0 1 0 1 F P FQ x y y x = + − = − （ ） ， ⊥ F P FQ 1 1 ， ∴以线段 PQ 为直径的圆恒过定点 ( 1 0) F1 − ， ． 变式 1：已知圆 2 2 C x y : ( 1) 4 + + = ，O 为坐标原点， A 为平面内一定点，对于圆 C 上任 意一点 P ，都有 PA PO = 2 求点 A 的坐标 解：设 A(m,n), P(x, y) ,由 PA PO = 2 ，得 2 2 2 2 ( ) ( ) 4( ) x m y n x y − + − = + ， 化简得： 2 2 2 2 3 3 2 2 0 x y mx ny m n + + + − − = ，又因为 2 2 x y x + + − = 2 3 0 ， 所以 2 2 (2 6) 2 9 0 m x ny m n − + + − − = ，因为对任意的 x,y 恒成立， 所以 m = 3,n = 0 . 所以 A(3，0) 变式 2：已知圆 :( 1) 1 2 2 C1 x + + y = ，圆 :( 3) 4 1 2 2 C2 x − +（y − ） = ，若动圆 C 同时平分 圆 C1 和圆 C2 的周长，则动圆 C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说 明理由。 解：设圆心 C（x, y)，由题意得：CC1 = CC2 , 即 2 2 2 2 (x +1) + y = (x − 3) + ( y − 4) 整理得： x + y − 3 = 0 即圆心在直线 x + y − 3 = 0 上运动. 设 C(m,3 − m) 则动圆的半径为： 2 2 2 1 1+（CC ) = 1+ (m +1) + (3−,m) 所以动圆 C 的方程为： 2 2 2 2 (x − m) + (y − 3+ m) =1+ (m +1) + (3− m) 即 x + y − 6y − 2 − 2m(x − y +1) = 0,m R 2 2 由 + − − = − + = 6 2 0 1 0 2 2 x y y x y 解得： = + = + 2 3 2 2 2 3 2 1 y x 或 = − = − 2 3 2 2 2 3 2 1 y x 即动圆 C 过定点 （ ， ） 2 3 2 2 2 3 2 1+ + ，（ ， ） 2 3 2 2 2 3 2 1− − 三.圆锥曲线中的定点问题（常化归为直线中定点问题） （一）椭圆中相关定点问题 例 3. 已知椭圆 : 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x C 的离心率为 , 2 1 以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴 长为半径的圆与直线 x − y + 6 = 0 相切。设 P （4，0）， A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的 任意两个不同的点，连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ，证明：直线 AE 与 x 轴交于定点 Q 。 解：由题意知 , 2 1 = = a c e [来源:学科网 ZXXK]
所以e2= 又因为b=√6=3 所以a2=4,b2=3 故椭圆C的方程为 =1.由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为 y=k(x-4) y=k(x-4) 由 "y-l 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.① 设点B(x1,y)E(x2,y2)则4x1-y) 直线AE的方程为y-y2 y2+y1 令y=0,得x=x2 y2(x2-x1) 将y1=k(x1-4)y2=k(x2-4)代入, 整理,得x=2Mx2-4x1+x) 32k2 64k2-12 由①得x1+x 代入② 整理,得x=1 所以直线AE与x轴相交于定点O(1,0) 变式1:已知椭圆x+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,点M(0,2)是椭圆 的一个顶点,△F1M2是等腰直角三角形.过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点, 设两直线的斜率分别为k,k2,且k1+k2=8,探究直线AB是否过定点 解:因为b=2,AFMF,是等腰直角三角形,所以c=2,所以a=2√2 故椭圆的方程为+ ①若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,2x2),B(x2,y2)
4, 3. 3, 1 1 6 . 3 4 . 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = + = = = − = = a b b a b a a b a c e 所以 又因为 即 所以 故椭圆 C 的方程为 1. 4 3 2 2 + = x y 由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y = k(x − 4). 2 2 2 2 2 2 ( 4), (4 3) 32 64 12 0. 1. 4 3 y k x k x k x k x y = − + − + − = + = 由 得 ① 设点 ( , ), ( , ), ( , ). 1 1 2 2 1 1 B x y E x y 则A x −y 直线 AE 的方程为 2 1 2 2 2 1 ( ). y y y y x x x x + − = − − ( 4), ( 4) , . ( ) 0, 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 将 代入 令 得 = − = − + − = = − y k x y k x y y y x x y x x 整理，得 8 2 4( ) 1 2 1 2 1 2 + − − + = x x x x x x x ② 由①得 4 3 64 12 , 4 3 32 2 2 2 1 2 2 1 2 + − = + + = k k x x k k x x 代入② 整理，得 x =1. 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q （1，0）. 变式 1：已知椭圆 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x 的左、右焦点分别为 F1，F2 ，点 M (0，2) 是椭圆 的一个顶点， F1MF2 是等腰直角三角形．过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A, B 两点， 设两直线的斜率分别为 1 2 k ,k ，且 k1 + k2 = 8 ，探究直线 AB 是否过定点. 解：因为 b = 2， F1MF2 是等腰直角三角形，所以 c＝2，所以 a＝2 2 ， 故椭圆的方程为 1 8 4 2 2 + = x y . ① 若直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y = kx + m ， ( , ), ( , ) 1 2 2 2 A x x B x y
联立方程得,{84 消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, kx+m 则x1+x21+22x1x2=m-8 4km 1+2k 由题知k1+k2 y-24y x 所以+m-2++m-2=8,即2k+(m-2)x XI xix 所以kmk 4,整理得m 故直线AB的方程为y=kx+k-2,即y=k(x+)-2. 所以直线AB过定点(--,-2) ②若直线AB的斜率不存在,设直线AB的方程为x=x0,A(x0,yo),B(x0,-y0) 则由题知2=2 得xn=-1.此时直线AB的方程为x=-1,显然直线AB过点( 综上可知,直线AB过定点( 变式2已知椭圆C:x+=1(a>b>0),四点P(1.2(O,,P(-1,3),P(,2y) 中恰有三点在椭圆C上.设直线/不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线 P2B的斜率的和为-1,证明:直线/过定点 证明:由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P两点 又由一2+n2>2+2知,椭圆C不经过点B 所以点P2在椭圆C上 因此 解得 故椭圆C的方程为+y2=1 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k 若l与x轴垂直,设1:x=t,由题设知t≠0,tk2,可得A,B的坐标分别为
联立方程得， = + + = y kx m x y 1 8 4 2 2 ，消去 y ，得 1 2 ) 4 2 8 0 2 2 2 （ + k x + kmx+ m − = ， 则 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 8 , 1 2 4 k m x x k km x x + − = + + = − . 由题知 8 2 2 2 2 1 1 1 2 = − + − + = x y x y k k 所以 8 2 2 2 2 1 1 = + − + + − x kx m x kx m ，即 2 ( 2) 8 1 2 1 2 = + + − x x x x k m . 所以 4 2 = + − m mk k ，整理得 2 2 1 m = k − . 故直线 AB 的方程为 2 2 1 y = kx + k − ，即 ) 2 2 1 y = k(x + − . 所以直线 AB 过定点 （ ， 2） 2 1 − − . ②若直线 AB 的斜率不存在，设直线 AB 的方程为 , ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 x = x A x y B x −y ， 则由题知 8 2 2 0 0 0 0 = − − + − x y x y ， 得 2 1 x0 = − .此时直线 AB 的方程为 2 1 x = − ，显然直线 AB 过点 （ ， 2） 2 1 − − . 综上可知，直线 AB 过定点 （ ， 2） 2 1 − − . 变式 2：已知椭圆 C ： 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x ，四点 ) 2 3 ), (1 2 3 P1 (1，1), P2 (0，1), P3 (−1， P4 ， ， 中恰有三点在椭圆 C 上．设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A, B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：直线 l 过定点． 证明：由于 3 4 P , P 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 3 4 P , P 两点． 又由 2 2 2 2 4 1 1 1 3 a b a b + + 知，椭圆 C 不经过点 P1 ， 所以点 P2 在椭圆 C 上． 因此 + = = 1 4 1 3 1 1 2 2 2 a b b 解得 = = 1 4 2 2 b a 故椭圆 C 的方程为 1 4 2 2 + y = x . 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 1 2 k ,k . 若 l 与 x 轴垂直，设 l : x = t ，由题设知 t 0,| t | 2 ，可得 A, B 的坐标分别为
),(t, 则k1+k2 得t=2,不符合题设 若/与x轴不垂直,可设l:y=kx+m(m≠1) 则由{x2 由题设可知A=16(4k2-m2+1)>0 设A(x1,y)B(x2,y2), 则x1+x2 4m2-4 4k2+1 4k2+1 而k+k、y-1,y2-1kx+m-1x+m-126x+(m-)x+x) 由题设知k1+k2=-1 所以(2k+1)xx2+(m-1)(x1+x2)=0 即(2k+1)x1x24k2+1 +(m-N4k2+1 0 解得k= m+1 m+1 所以:y x+m 所以l过定点(2,-1) 变式3:已知椭圆C:+)2=1(a>b>0),左焦点F(-30),且离心率e 直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N(M,N不是左、右顶点),且以 M为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标 证明:由题意可知:{e= 解得a=2,b=1 b 所以椭圆的方程为
) 2 4 ), , 2 4 , 2 2 t t t t − − − （ （ ，则 1 2 4 2 2 4 2 2 2 1 2 = − − + − − − + = t t t t k k ， 得 t = 2 ，不符合题设． 若 l 与 x 轴不垂直，可设 l : y = kx + m(m 1) ． 则由 + = = + 1 4 2 2 y x y kx m ，得 (4 1) 8 4 4 0 2 2 2 k + x + kmx+ m − = 由题设可知 16 4 1) 0 2 2 = （ k − m + . 设 , ), ( , ) 1 1 2 2 A（x y B x y ， 则 4 1 4 4 , 4 1 8 2 2 1 2 2 1 2 + − = + + = − k m x x k km x x . 而 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) ) x x k x x m x x x k x m x k x m x y x y k k + − + = + − + + − = − + − + = （ 由题设知 k1 + k2 = −1 所以 (2k +1)x1 x2 + (m−1)（ x1 + x2 ) = 0 即 0 4 1 8 ( 1) 4 1 4 4 (2 1) 2 2 2 1 2 = + − + − + − + k k m m k m k x x ， 解得 2 +1 = − m k . 所以 ( 2) 1 2 1 2 1 : − − + + = − + = − x m x m m l y 所以 l 过定点(2，－1)． 变式 3：已知椭圆 C： 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x ，左焦点 F(− 3,0) ，且离心率 2 3 e = ，若 直线 l : y = kx + m(k 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N （ M , N 不是左、右顶点），且以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证：直线 l 过定点,并求出定点的坐标. 证明：由题意可知： = + = = = 2 2 2 2 3 3 a b c a c e c 解得 a = 2,b = 1 所以椭圆的方程为： 1 4 2 2 + y = x