丝 2020:2月 振咒图形翻折在解题中的画用 舒祥冯安同 (兴化市竹泓初级中学,江苏泰州225716) 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之 AD,EF=DF,这样 它给人视觉上以透空的感觉和艺术享受(如图再运用勾股定理进行相 1).剪纸其实就是翻折在生活中的最基本的应关的计算,求出CF的 用,而在数学上,如果我们能正确利用翻折,可长 以大大提高解题效率 解设CF=x 在矩形ABCD中 AD=BC=5,DC=AB=4,∠B=∠C 图1 由翻折得AE=AD=5 EF=DF=4-x 例,如图 在Rt△ABE中, 2,把平行四边形纸片 BE=√AE2-AB2=√52-42=3, ABCD沿BD折叠, ∴EC=BC-BE=2 点C落在点F处,BF 在Rt△EFC中,FC2+EC2=EF 与AD相交于点E ∴x2+22=(4-x) EB与ED相等吗? 解这个方程得x=1.5, 分析翻折过程中,对应的角相等: 即CF=1.5 ∠CBD=∠FBD,再结合平行的条件就可证 在上面两道例题中,分别利用翻折过程中 明△BED是等腰三角形 的对应角和对应线段相等找到有效的解题途 解EB=ED 径 证明由翻折得∠CBD=∠FBD. 有时同时利用线段相等、角相等,往往比 又∵平行四边形纸片ABCD中,AD∥较容易帮助我们找到证明一个四边形是菱形 BO 的方法 ∴∠CBD=∠EDB ⑤例3如图 浮 ∴∠FBD=∠EI 4,在矩形纸片 ABCD A ∴EB=ED 4 中,将矩形纸片如图折 例2如图3,将矩形 沿AF叠,使点B与点D重 数折叠,使点D落在BC边的点E处,AB=,合,折痕为GH,连接 BC=5,求CF的长 BG.试说明BGDH为 图4 分析翻折过程中,对应的线段相等:AE 网址 .cbpt cnki.net 12 邮箱:zxs82486@163.com
探究图形翻折在解题中的应用 舒 祥 冯安同 (兴化市竹泓初级中学,江苏 泰州 ２２５７１６) 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一, 它给人视觉上以透空的感觉和艺术享受(如图 １)．剪纸其实就是翻折在生活中的最基本的应 用,而在数学上,如果我们能正确利用翻折,可 以大大提高解题效率． 图１ 图２ 例１ 如图 ２,把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折 叠, 点C 落在点F 处,BF 与 AD 相 交 于 点 E． EB 与ED 相等吗? 分 析 翻 折 过 程 中,对 应 的 角 相 等: ∠CBD＝∠FBD,再结合平行的条件就可证 明△BED 是等腰三角形． 解 EB＝ED． 证明 由翻折得∠CBD＝∠FBD． 又∵ 平行四边形纸片 ABCD 中,AD∥ BC, ∴ ∠CBD＝∠EDB, ∴ ∠FBD＝∠EDB, ∴ EB＝ED． 例２ 如图３,将矩形ABCD 沿AF 折叠,使点 D 落在BC 边的点E 处,AB＝４, BC＝５,求CF 的长． 分析 翻折过程中,对应的线段相等:AE 图３ ＝AD,EF ＝DF．这 样 再运用勾股定理进行相 关的 计 算,求 出 CF 的 长． 解 设CF＝x, 在矩形ABCD 中, AD＝BC＝５,DC＝AB＝４,∠B＝∠C ＝９０°, 由翻折得AE＝AD＝５, EF＝DF＝４－x, 在 Rt△ABE 中, BE＝ AE２－AB２ ＝ ５２－４２ ＝３, ∴ EC＝BC－BE＝２, 在 Rt△EFC 中,FC２＋EC２＝EF２, ∴ x２＋２２＝(４－x)２． 解这个方程得x＝１．５, 即CF＝１５． 在上面两道例题中,分别利用翻折过程中 的对应角和对应线段相等找到有效的解题途 径． 有时同时利用线段相等、角相等,往往比 较容易帮助我们找到证明一个四边形是菱形 的方法． 图４ 例３ 如 图 ４,在 矩 形 纸 片 ABCD 中,将矩形纸片如图折 叠,使 点 B 与 点 D 重 合,折 痕 为 GH,连 接 BG．试说明 BGDH 为 菱形． 网址:zxss．cbpt．cnki．net １２邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
分析由例题1知道,本题中折叠的重叠 由折叠得CE=DE=a 部分△HGD亦是等腰三角形,GD=HD,再 在Rt△ADE中 结合翻折过程中的线段BH=DH以及矩形 AE=√DE2+AD2 中的AD∥BC,便不难证明四边形BGDH是 √a2+(2a)2=√5a, 菱形 证明由翻折得,BH=DH,∠BHG 由折叠得HG=EH,AG=AE=5a, ∠DHG 又∵矩形纸片ABCD中,AD∥BC, 在Rt△EHC与Rt△HGB中, ∴∠DGH=∠BHG, EH=EC2+CH2. HG=BG+BH ∠DGH=∠DHG HG=EH ∴GD=DH, ∴EH2=GH2 又∵BH≡DH a2+(2a-x)2=[(5-2)a]2 ∴GD=BH 解方程得x=(5-1) 又∵GD∥BH, BH(5-1)a√5-1 ∴四边形BHDG为平行四边形 又∵BH≡DH ∴平行四边形BHDG为菱形 答案 有时图形会通过多次折叠后让我们寻找 当我们熟悉了折叠过程中的一些基本图形 线段之间的数量关系,我们同样需要运用翻折和基本原理后,并学会灵活运用,那么遇到综合 过程中的线段相等来帮助我们解决问题 题我们就会心中有数,解题也就游刃有余 例4如图5 ②例5如图6在平面直角坐标系 将正方形纸片ABCD按 xOy中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别 如图所示对折,使边AD 为(0,6)、(√5,0),点P为线段OA上的一个 与BC重合,折痕为EF 动点,将矩形OABC在直线PC上方的部分沿 连接AE,将AE折叠到 直线PC翻折,点B落在点D处,点A落在点 AB上,折痕为AH,则 E处,直线CD交y轴于点F 的值是 分析若设正方形边长为2a,在第一次 折叠时,则CE=DE=a第二次折叠时利用勾 浮 股定理可求出AG=AE=5a,然后设BH= ,由GH=EH,再次运用勾股定理辅助方程 4 就可求出x 图 解设正方形边长为2a,BH=x (1)如图7,当点P与点A重合时,求点F 则CH=2a-x, 的坐标; 网址 13 邮箱:zxss2486@163.com
思路与方法 分析 由例题１知道,本题中折叠的重叠 部分△HGD 亦是等腰三角形,GD ＝HD,再 结合翻折过程中的线段 BH ＝DH 以及矩形 中的AD∥BC ,便不难证明四边形BGDH 是 菱形． 证明 由翻折得,BH ＝DH,∠BHG＝ ∠DHG, 又∵ 矩形纸片ABCD 中,AD∥BC, ∴ ∠DGH ＝∠BHG, ∴ ∠DGH ＝∠DHG, ∴ GD＝DH, 又∵ BH ＝DH, ∴ GD＝BH, 又∵ GD∥BH, ∴ 四边形BHDG 为平行四边形, 又∵ BH ＝DH, ∴ 平行四边形BHDG 为菱形． 有时图形会通过多次折叠后让我们寻找 线段之间的数量关系,我们同样需要运用翻折 过程中的线段相等来帮助我们解决问题． 图５ 例４ 如 图 ５ 将正方形纸片 ABCD 按 如图所示对折,使边 AD 与BC 重合,折痕为 EF． 连接 AE,将 AE 折叠到 AB 上,折 痕 为 AH,则 BH BC 的值是 ． 分析 若设正方形边长为２a,在第一次 折叠时,则CE＝DE＝a．第二次折叠时利用勾 股定理可求出AG＝AE＝ ５a,然后设BH ＝ x,由GH ＝EH,再次运用勾股定理辅助方程 就可求出x． 解 设正方形边长为２a,BH ＝x, 则CH ＝２a－x, 由折叠得CE＝DE＝a, 在 Rt△ADE 中 AE ＝ DE２＋AD２ ＝ a２＋(２a)２ ＝ ５a, 由折叠得 HG＝EH,AG＝AE＝ ５a, ∴ BG＝ ５a－２a＝(５－２)a, 在 Rt△EHC 与 Rt△HGB 中, EH２＝EC２＋CH２,HG２＝BG２＋BH２, 又∵ HG＝EH, ∴ EH２＝GH２． ∴ a２＋(２a－x)２＝[(５－２)a]２＋x２ 解方程得x＝(５－１)a, ∴ BH BC ＝ (５－１)a ２a ＝ ５－１ ２ , 答案: ５－１ ２ ． 当我们熟悉了折叠过程中的一些基本图形 和基本原理后,并学会灵活运用,那么遇到综合 题我们就会心中有数,解题也就游刃有余． 例５ 如 图 ６ 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中,矩形OABC 的顶点A、C 的坐标分别 为(０,６)、(５,０),点 P 为线段OA 上的一个 动点,将矩形OABC 在直线PC 上方的部分沿 直线PC 翻折,点B 落在点D 处,点A 落在点 E 处,直线CD 交y 轴于点F． 图６ 图７ (１)如图７,当点P 与点A 重合时,求点F 的坐标; 网址:zxss．cbpt．cnki．net １３邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
2020:2月 (2)点P从A向O运动的过程中,点D 由折叠知CB=CD,BP=DP,∠BCP= P、C、B能否构成菱形,若能,求出符合条件的DCP 点D的坐标,若不能,请说明理由 ∵AO∥BC, (3)点P从A向O运动的过程中,当 ∠BCP=∠DPC △DPC的重心刚好落在y轴上时,求出此时 ∠DCP=∠DPC, 点P的坐标 DP=CD 分析本题中的条件比较多,图形相对复 CD=BP=DP=cB=6 杂但如果我们类比前面的几道例题,就能找 ∴四边形DPBC是菱形 到解题的方法和思路.问题(1)参照例题1翻 在Rt△OCD中, 折形成等腰三角形PCF,再结合勾股定理可 OD=√CD2-OCz=√62-(5)2=√31 解答.问题(2)参照例题3证明菱形的方法解 答问题(3)利用折叠形成的等腰三角形再运 D(0,-√31) 用勾股定理和重心的知识解答 (3)当△DPC的重心刚好落在y轴上时 解(1)设OF=a 则说明PF为DC边上的中线(如图6), 由翻折得∠PCB=∠PCF 此时CF=DF=CD 又∵矩形ABCO中,AO∥BC ∠FPC=∠PCB BC=-×6=3, ∴∠FPC=∠PCF 又由(1)知FP=CF, CF=PF=6-a FP=3 在Rt△OCF中 在Rt△OCF中 OC+OF=CF OF=√CF2-(C=√32-(5)2=2 ①当F在y轴负半轴时,OP=PF-OF 点P坐标为(0,1) 即F(0 ②当F在y轴正半轴时 (2)当点D落在y轴上时,点D、P、C、B OP=PF+OF=3+2=5 能构成菱形(如图8) 点P坐标为(0,5) 中 P坐标为(0,1)或(0,5) 通过以上几例发现,在图形翻折过程中, 浮 由角相等结合平行条件,常衍生出等腰三角形 4 图形;线段结合直角,常利用勾股定理进行线 段长计算.这样在复杂的图形翻折变换综合题 中,我们只要去繁就简,找到最原始的知识点, 基本图形,就能找到解决问题的钥匙 (责审张思明 网址:zXs.cbpt. cnki, net 14 邮箱:zxs82486@163.com
(２)点P 从A 向O 运动的过程中,点 D、 P、C、B 能否构成菱形,若能,求出符合条件的 点D 的坐标,若不能,请说明理由; (３)点 P 从 A 向 O 运 动 的 过 程 中,当 △DPC 的重心刚好落在y 轴上时,求出此时 点P 的坐标． 分析 本题中的条件比较多,图形相对复 杂．但如果我们类比前面的几道例题,就能找 到解题的方法和思路．问题(１)参照例题１翻 折形成等腰三角形 PCF,再结合勾股定理可 解答．问题(２)参照例题３证明菱形的方法解 答．问题(３)利用折叠形成的等腰三角形再运 用勾股定理和重心的知识解答． 解 (１)设OF＝a, 由翻折得∠PCB＝∠PCF, 又∵ 矩形ABCO 中,AO∥BC, ∴ ∠FPC＝∠PCB． ∴ ∠FPC＝∠PCF． ∴ CF＝PF＝６－a． 在 Rt△OCF 中, ∵ OC２＋OF２＝CF２, ∴ a２＋(５) ２＝(６－a)２, ∴ a＝ ３１ １２ , ∴ OF＝ ３１ １２ ,即F(０, ３１ １２ )． (２)当点D 落在y 轴上时,点 D、P、C、B 能构成菱形(如图８)． 图８ 由折叠知CB＝CD,BP＝DP,∠BCP＝ ∠DCP, 又∵ AO∥BC, ∴ ∠BCP＝∠DPC, ∴ ∠DCP＝∠DPC, ∴ DP＝CD, ∴ CD＝BP＝DP＝CB＝６, ∴ 四边形DPBC 是菱形． 在 Rt△OCD 中, OD＝ CD２－OC２ ＝ ６２－(５) ２ ＝ ３１ ∴ D(０,－ ３１)． (３)当△DPC 的重心刚好落在y 轴上时, 则说明PF 为DC 边上的中线(如图６), 此时CF ＝DF＝ １ ２ CD ＝ １ ２ BC＝ １ ２ ×６＝３, 又由(１)知FP＝CF, ∴ FP＝３, 在 Rt△OCF 中, OF＝ CF２－OC２ ＝ ３２－(５) ２ ＝２ ①当F 在y 轴负半轴时,OP＝PF－OF ＝３－２＝１, 点P 坐标为(０,１)． ②当F 在y 轴正半轴时, OP＝PF＋OF＝３＋２＝５, 点P 坐标为(０,５)． ∴ P 坐标为(０,１)或(０,５)． 通过以上几例发现,在图形翻折过程中, 由角相等结合平行条件,常衍生出等腰三角形 图形;线段结合直角,常利用勾股定理进行线 段长计算．这样在复杂的图形翻折变换综合题 中,我们只要去繁就简,找到最原始的知识点, 基本图形,就能找到解决问题的钥匙． (责审 张思明) 网址:zxss．cbpt．cnki．net １４邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
双圆弧中点与等腰三角形 陈金华 (福州金桥学校,福建福州350108) 请看下面一个例题 点D是劣AB的中点 如图1,已知AB、AC为⊙O的两条弦,点 由上面的逆定理得OD⊥AB, D、点E分别为劣AB和劣AC的中点,连接 ∠APD=90° DE,分别交AB、AC于点M、N,求证: ∠D+∠DMP=90°, △AMN为等腰三角形 同理∠E+∠ENQ=90° 为方便起见,下面先证一个垂径定理的逆 OD=F 定理(以下简称“逆定理”) ∠D=∠E, 如图2,已知AB为⊙O的一条弦,点D ∠DMP=∠ENQ 为劣AB的中点,连接OD,则OD⊥AB ∠DMP=∠AMN,∠ENQ=∠ANM ∠AMN=∠ANM AM=AN 下面通过变式对例题进行深入的探究 变式一如图5,在⊙O中,点D为优AB 的中点,点E为劣AC的中点,直线DE分别交 AB和AC所在直线于点M、N,则结论AM= AN仍然成立 证明连接OA、OB,如图3. 点D为劣AB的中点 AD=BD, OA=OB ∴OD⊥AB 当点D是优AB的中点时,根据等角的补 角相等,就转化成以上的情况,结论仍成立 变式二如图6,在⊙O中,点D为优AB 中 的中点,点E为优AC的中点,直线DE分别交 AB和AC所在直线于点M、N,则结论AM AN仍然成立 4 变式三设BF和CG是⊙O的两条弦 图3 图 BF和CG所在直线相交于点A,并且点A在 例题的证明如图4,连接OD、OE分别⊙O内 交AB、AC于点P、Q (1)如图7,点D、点E分别为劣BF和劣 网址 邮箱:zxss2486@163.com
思路与方法 双圆弧中点与等腰三角形 陈金华 (福州金桥学校,福建 福州 ３５０１０８) 请看下面一个例题: 如图１,已知AB、AC 为☉O 的两条弦,点 D、点 E 分 别 为 劣A ︵B 和 劣A ︵C的 中 点,连 接 DE,分 别 交 AB、AC 于 点 M、N,求 证: △AMN 为等腰三角形． 为方便起见,下面先证一个垂径定理的逆 定理(以下简称“逆定理”): 如图２,已知 AB 为 ☉O 的一条弦,点 D 为劣A ︵B的中点,连接OD,则OD⊥AB． 图１ 图２ 证明 连接OA、OB,如图３． ∵ 点 D 为劣A ︵B的中点, ∴ A ︵D＝B ︵D, ∴ ∠AOD＝∠BOD, ∵ OA＝OB, ∴ OD⊥AB． 当点 D 是优A ︵B的中点时,根据等角的补 角相等,就转化成以上的情况,结论仍成立． 图３ 图４ 例题的证明 如图４,连接 OD、OE 分别 交AB、AC 于点P、Q． ∵ 点 D 是劣A ︵B的中点, 由上面的逆定理得OD⊥AB, ∴ ∠APD＝９０°, ∴ ∠D＋∠DMP＝９０°, 同理∠E＋∠ENQ＝９０°． ∵ OD＝OE, ∴ ∠D＝∠E, ∴ ∠DMP＝∠ENQ． ∵ ∠DMP＝∠AMN,∠ENQ＝∠ANM, ∴ ∠AMN＝∠ANM, ∴ AM＝AN． 下面通过变式对例题进行深入的探究． 变式一 如图５,在☉O 中,点 D 为优A ︵B 的中点,点E 为劣A ︵C的中点,直线 DE 分别交 AB 和AC 所在直线于点 M、N,则结论 AM ＝ AN 仍然成立． 图５ 图６ 变式二 如图６,在☉O 中,点 D 为优A ︵B 的中点,点E 为优A ︵C的中点,直线 DE 分别交 AB 和AC 所在直线于点 M、N,则结论 AM ＝ AN 仍然成立． 变式三 设 BF 和CG 是☉O 的两条弦, BF 和CG 所在直线相交于点A,并且点 A 在 ☉O 内． (１)如图７,点 D、点 E 分别为劣B ︵F和劣 网址:zxss．cbpt．cnki．net １５邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
小 2020:2月 CG的中点,直线DE分别交BF和CG所在直 由上面的“逆定理”得OD⊥BF 线于点M、N,则结论AM=AN仍然成立 ∴∠MHD=90°, (2)如图8,点D、点E分别为劣BF和优 G的中点,直线DE分别交BF和CG所在直 AC与⊙O相切于点C, 线于点M、N,则结论AM=AN仍然成立. OC⊥AC于点C, (3)如图9,点D、点E分别为优BF和优 CG的中点,直线DE分别交BF和CG所在直 ∠OCD+∠ACM=90 线于点M、N,则结论AM=AN仍然成立 OD=OC ∠D=∠OCD ∴∠M=∠ACM, ∴AC=AM 变式六如图12和13,设BF为⊙O的 一N直径,半径OD⊥BF,点A在BF的延长线 上,过点A作⊙O的切线,切点为C,连接CD 图 图8 交AB所在直线于点M,则AC=AM 图13 因为半径OD⊥直径BF,根据垂径定理 点D是半圆BF的中点,因此这是“变式五”的 变式四在“变式三”中,把“点A在⊙O特殊化 内”改成“点A在⊙O外”,其他条件不变,相 最后要指出的是,以上各种变式可以归 应的三个结论仍然成立(图略 纳为: 以上所有变式都可以用上面的“逆定理” (1)设BF和CG为⊙O的两条弦,它们所 来证明 变式五如图10,设BF是⊙O的一条在的直线相交于点A,点D为弦BF所对的一 弧的中点,点E为弦CG所对的一条弧的中 中 弦,点A在FB的延长线上,过点A的直线与点,直线DE分别交BF和CG所在直线于点 ⊙O相切于点C,D是弦BF所对的一条弧的 M、N,则AM=AN 中点,直线CD和BF (2)设BF为⊙O的一条弦,点D为弦 所在直线相交于点M BF所对的一条弧的中点,点A在BF的延长 4 线上,过A的直线与⊙O相切于点C,直线 下面以“变式五” 为例进行证明: CD交BF所在直线于点M,则AM=AC 这两个结论之所以成立,其中一个关键正 连接并延长DO 是建立在前面提到的“逆定理”上 交 连接 图11 (责审曹付生) OC,如图11 网址 .cbpt cnki.net 16 邮箱:zxs82486@163.com
C ︵G的中点,直线 DE 分别交BF 和CG 所在直 线于点 M、N,则结论 AM＝AN 仍然成立． (２)如图８,点 D、点 E 分别为劣B ︵F和优 C ︵G的中点,直线 DE 分别交BF 和CG 所在直 线于点 M、N,则结论 AM＝AN 仍然成立． (３)如图９,点 D、点 E 分别为优B ︵F和优 C ︵G的中点,直线 DE 分别交BF 和CG 所在直 线于点 M、N,则结论 AM＝AN 仍然成立． 图７ 图８ 图９ 图１０ 变式四 在“变式三”中,把“点 A 在☉O 内”改成“点 A 在☉O 外”,其他条件不变,相 应的三个结论仍然成立(图略)． 以上所有变式都可以用上面的“逆定理” 来证明． 变式五 如图 １０,设 BF 是 ☉O 的一条 弦,点 A 在FB 的延长线上,过点 A 的直线与 ☉O 相切于点C,D 是弦BF 所对的一条弧的 图１１ 中点,直 线 CD 和 BF 所在直线相交于点 M, 则 AM＝AC． 下面 以 “变 式 五” 为例进行证明: 连 接 并 延 长 DO 交 BF 于 点 H,连 接 OC,如图１１． 由上面的“逆定理”得OD⊥BF, ∴ ∠MHD＝９０°, ∴ ∠D＋∠M＝９０°． ∵ AC 与☉O 相切于点C, ∴ OC⊥AC 于点C, ∴ ∠ACO＝９０°, ∴ ∠OCD＋∠ACM＝９０°． ∵ OD＝OC, ∴ ∠D＝∠OCD, ∴ ∠M＝∠ACM, ∴ AC＝AM． 变式六 如图１２和１３,设 BF 为☉O 的 直径,半 径 OD ⊥BF,点 A 在 BF 的 延 长 线 上,过点 A 作☉O 的切线,切点为C,连接CD 交AB 所在直线于点 M,则 AC＝AM． 图１２ 图１３ 因为半径OD⊥直径 BF,根据垂径定理, 点 D 是半圆BF 的中点,因此这是“变式五”的 特殊化． 最后要 指 出 的 是,以 上 各 种 变 式 可 以 归 纳为: (１)设BF 和CG 为☉O 的两条弦,它们所 在的直线相交于点A,点D 为弦BF 所对的一 条弧的中点,点E 为弦CG 所对的一条弧的中 点,直线 DE 分别交BF 和CG 所在直线于点 M、N,则 AM＝AN． (２)设 BF 为 ☉O 的 一 条 弦,点 D 为 弦 BF 所对的一条弧的中点,点 A 在BF 的延长 线上,过 A 的 直 线 与 ☉O 相 切 于 点 C,直 线 CD 交BF 所在直线于点 M,则 AM＝AC． 这两个结论之所以成立,其中一个关键正 是建立在前面提到的“逆定理”上． (责审 曹付生) 网址:zxss．cbpt．cnki．net １６邮箱:zxss２４８６＠１６３．com