旋转过程中的特征： M1(0,y1,z1) 如图设M(x,y,z), M \f(y,z)=0 (1)7=z1 y (2)点M到业k轴的距离 d=vx2+y2=yl 将z=乙1，y1=±Vx2+y2代入f(y1,乙1)=0 得方程f仕x2+y2,z=0, 这就是所求旋转曲面的方程
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z 设 M(x, y,z), M 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d ( , ) 0, 2 2 得方程 f x + y z = 这就是所求旋转曲面的方程
显然，在曲线C的方程fy,z)=0中将y改为 y=±Vx2+y2 即得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程。 同理，曲线C绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程 为： fy,±√x2+z2)=0 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将 曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量 的平方和的正负平方根
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将 曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量 的平方和的正负平方根。 显然，在曲线C 的方程 f ( y,z) = 0 中将 y 改为 2 2 y = x + y 即得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程。 ( , ) 0 2 2 f y x + z = 同理，曲线C绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程 为：
例3直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角(0<a<?)叫圆锥面的半顶 角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶 角为a的圆锥面方程. 解 y0z面上直线方程为 M1(0,y1,1) ycota 圆锥面方程： z=±x2+y2 cota M(x,y,) 或z2=a2(x2+y (a=cota）
x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) 圆锥面方程: cot 2 2 z = x + y o x z y 例3 直线L 绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点 ，两直线的夹角 叫圆锥面的半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，半顶 角为 的圆锥面方程． (0 ) 2 或 ( ) 2 2 2 2 z a x y a = + = ( cot )
例4将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程. (1)双曲线 。之=1分别绕x轴和z轴： 绕轴旋转 2+z2 =1 】 旋转双曲面 绕z轴旋转 2
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程． 绕x轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 旋 转 双 曲 面 (1)双曲线 分别绕x轴和 z轴； 2 2 2 2 1 x z a c − =