§10.5二阶常系数线性微分方程 上次课内容复习： y"+py+qy=0(p,q为常数) 特征方程：2+pr+q=0,特征根：1,2 特征根 通 解 片≠2实根 y-Cenx+Ce* 1=乃=-号 y=(C]+Czx)ex 1,2=au±iB y=ex(CI Cos Bx+C2 sinBx)
§10.5 二阶常系数线性微分方程 上次课内容复习： y + p y + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特 征 根 通 解
二、二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+9y=f(x)(1) 定理2.设y*(x)是二阶非齐次方程 y"+py'+qy=f(x) ① 的一个特解，Y(心)是相应齐次方程的通解，则 y=Y(x)+y*(x) 是非齐次方程的通解
二、二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy f x + + = ( ) (1) 设 y *(x) 是二阶非齐次方程 的一个特解, y = Y(x) + y *(x) Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 2. 则 是非齐次方程的通解 . ② ①
y"+py'+qy=f(x) ① y=Y(x)+y*(x) ② 证：将y=Y(x)+y*(x)代入方程①左端，得 (Y”+y*")+p(Y'+y*)+9(Y+y*) =(y*"+py*'+qy*)+(Y”+pY'+qY) =f(x)+0=f(x) 故y=Y(x)+y*(x)是非齐次方程的解，又Y中含有 两个独立任意常数，因而②也是通解.证毕
证: 将 y = Y(x) + y *(x) 代入方程①左端, 得 (Y + y *) + + p Y y ( * ) + + + ( ) Y pY qY = f (x) + 0 = f (x) + + q Y y ( *) ① 故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 证毕 y = Y(x) + y *(x) ②
例如，方程y”+y=x有特解y*=x 对应齐次方程y”+y=0有通解 Y=C cosx+C2 sinx 因此该方程的通解为 y=C]cosx+C2 sinx+x 定理3设y和y是y”+py'+gy=f(x)的两个 特解，则y-是y”+py'+q心=0的一个解
例如, 方程 有特解 Y C cos x C sin x = 1 + 2 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 定理3 设 和 是 的两个 特解，则 是 的一个解。 1 y 2 y 1 2 y y −
定理4.设y(x),y,(x)分别是方程 y”+py+qy=f(x) y"+py+qy=f(x) 的特解，则y=乃+y2是方程 y"+py'+qv=f(x)+f(x) 的特解。非齐次方程之解的叠加原理
定理 4. 设 分别是方程 的特解, 则 是方程 1 2 ( ) ( ) y py qy f x y py qy f x + + = + + = 1 2 y py qy f x f x + + = + ( ) ( ) 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)