§10.5二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程的一般形式为 y”+py'+qy=f(x) (1) 这里卫、9是常数。 如果f(x)=≡0即y”+py'+9y=0(2) 称为二阶常系数齐次线性微分方程； 否则（1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程
§10.5 二阶常系数线性微分方程 y + py + qy = f (x) p 、 q 是常数。 二阶常系数线性微分方程的一般形式为 这里 （1） 称为二阶常系数齐次线性微分方程； 否则（1）称为二阶常系数非齐次线性微分方程． 如果 f x( ) 0 即 y py qy + + = 0 （2）
一、二阶常系数齐次线性微分方程 y"+py'+q=0 (2) 定理1设y=y,(x)与y=y2(x)为二阶常系数齐次 线性微分方程(2)的相互独立的两个特解(yz(x)/y,(x) 不恒等于常数)，则y=Cy+C2y2为方程(2)的通解， C与C,为任意常数
一、二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy + + = 0 (2) ( ) 1 y = y x ( ) 2 y = y x 1 1 2 2 y = C y +C y C1 C2 定理1 设 与 为二阶常系数齐次 不恒等于常数)，则 为方程(2)的通解， 与 为任意常数． 线性微分方程(2)的相互独立的两个特解( ( ) ( ) 2 1 y x y x
二阶常系数齐次线性微分方程： y"+py'+qy=0(p,9为常数) (2) 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子， 所以令(2)的解为y=ex(r为待定常数)，代入(2)得 (r2+pr+g)e"x =0 →r2+pr+9=0 (3) 称(3)为微分方程(2)的特征方程，其根称为特征根
二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入(2)得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称(3)为微分方程(2)的特征方程, ( r 为待定常数 ), （2） 所以令(2)的解为 （3） 其根称为特征根
y"+py'+qy=0(p,9为常数) (2) (r2+pr+g)e"x =0 →r2+pr+q=0 (3) 1.当p2-4q>0时，(3)有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：y=eix，y2=e2, 因此方程的通解为 y=Cex+Cex
( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = （2） （3） 1. 当 4 0 2 p − q 时, (3)有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 1 2 1 2 r x r x y C e C e = + 则微分
2.当p2-4g=0时，特征方程有两个相等实根1=2 =?,则微分方程有一个特解h=e1x. 设另一特解y2=yu(x)=eh'u(x)(uc)待定) 代入方程得： e[(2"+2id+片2u)+pW'+rw)+9u]=0 u"+(2i+p)W+(2+pi+q)u=0 注意？是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xeix,因此原方程的通解为 y=(C+C2x)e"x
2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u + r1u + qu = 0 2 u + r1u + r1 u 是特征方程的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u =