§10.3一阶线性微分方程 一、线性方程 一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y=Q(x) d 若Qx)=0,称为齐次方程； 若Qx)丰0，称为非齐次方程
§10.3 一阶线性微分方程 一、线性方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ;
1.解齐次方程 dy+P(x)y=0 d 分离变量 dy=-P(x)dx y 两边积分得 lny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce∫P(x)dx
( ) 0 d d + P x y = x y 1.解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d =
2.解非齐次方程 dy+P(x)y=Q(x) d 用常数变易法：作变换)=(x)e∫P()dx则 WePp(eP(x)e Q() 即 (dir. 两端积分得 u=JQ(x)ePdx+C 故原方程的通解 y=ere[dx+c 即 y-Cee)dx 齐次方程通解 非齐次方程特解
对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则 − P x x u e ( )d + P(x) − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − + ( )d ( )d ( ) d P x x P x x y e Q x e x C − = + 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = + ( ) d ( )d 两端积分得
例1求解微分方程y'-ycotx=2 xsinx。 例2求方程 y+y=CoSx满足初始条件 xm=1的特解。 例3求解微分方程 y=-y-x 2y(x+1)
例1 求解微分方程 y y x x x − = cot 2 sin 例2 求方程 xy y x + = cos 满足初始条件 1 x y = = 的特解。 。 例3 求解微分方程 2 2 ( 1) y x y y x − = +
例4求方程(y2-6x)y'+2y=0满足初始条件 x-2=1的特解。 例5已知fn(x满足f(x)=fn(x)+x"-e, 1,仙；，求函数项级数 ∑f(x)之和
例4 求方程 2 ( 6 ) 2 0 y x y y − + = 满足初始条件 2 1 x y = = 的特解。 f (x) n n x n n f (x) f (x) x e −1 = + n f n e (1) = ( ) 1 f x n n = 例5 已知 满足 ，求函数项级数 之和.