第六章微分方程 高等数学少学时 例如y=e、y=3e都是y”-2y'+y=0的解， 但y=C1ex+C2·3e显然不是它的通解 函数组的线性相关与线性无关： 所谓()与，(x)线性无关是指：上(c) 2( ≠常数. 例如： e=ex≠常数，e2、e 线性无关. sin 2x =2=常数，∴.sin2 x.sinxc0sx线性相关. sinx cosx 北京邮电大学出版社 6
6 例如 x x y = e 、y = 3e 都是 y − 2 y + y = 0 的解， x x y C e C 3e 1 2 但 = + 显然不是它的通解. 所谓 y1 (x) 与 y2 (x) 线性无关是指： 函数组的线性相关与线性无关： ( ) ( ) y x y x 2 1 常数. 例如： = − x x x e e e 3 2 常数， x x e e 2 、 3 线性无关. = 2 = sin cos sin2 x x x 常数， sin2x、sin xcos x 线性相关
第六章微分方程 高等数学少学时 一般地如果存在n个不全为零的常数k1,k2,…,kn, 使得当x∈I时，有等式 ky(x)+k2y2(x)+.+ky (x)0 恒成立，则称这个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关 定理2若y,(x)与y,(x)是方程(6-11)的两个线性无关的 特解，则(6-12)就是方程(6-11)的通解. 北京邮电大学出版社 7
7 ( ) ( ) ( ) 0 k1 y1 x + k2 y2 x ++ kn yn x 使得当 x ∈I 时，有等式 恒成立，则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关. , , , , 1 2 n 一般地 如果存在 n 个不全为零的常数 k k k 定理2 若 y1 (x) 与 y2 (x) 是方程(6-11)的两个线性无关的 特解，则(6-12)就是方程(6-11)的通解
第六章微分方程 高等数学少学时 例如：容易验证y1=c0sxy2=sinx是方程y”+y=0 COSX 的两个特解，且 c0sx=cotx≠常数，所以乃，线性无关，所以 sin x 方程的通解为：y=C1c0sx+C2sinx, 注以上结论可推广到阶线性齐次微分方程： y+a(x)y++a(x)y'+a(x)y=0 例如，若y1(),Jy2(x)…,yn(x)是该方程的个线性无关的特解， 则y=C1y1(x)+C2y2(x)++Cnyn(x)就是该方程的通解. 北京邮电大学出版社 8
8 cos sin . 1 2 y = C x +C x 的两个特解，且 例如： y cos x、y2 = sin x 容易验证 1 = 是方程 y + y = 0 = x x x cot sin cos 常数，所以 y1 、y2 线性无关， ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 n n n n y a x y a x y a x y − − + + + + = 例如，若 y1 (x), y2 (x), , yn (x) 是该方程的n个线性无关的特解， ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y C y x C y x C y x 则 = + ++ n n 就是该方程的通解. 方程的通解为： 所以 注 以上结论可推广到n阶线性齐次微分方程：
第六章微分方程 高等数学少学时 对于一阶线性微分方程： +P(x)y=O(x),其通解为 dx y=eJramGeedrad+c 即y=eJat2 e+Ce∫Par 不难验证：y*=e」r∫2(x)d是方程的一个特解； 而Y=Ce∫P(x)r是对应齐次方程 +Pxy=0的通解。 dr 北京邮电大学出版社
9 ( ) ( ), d d P x y Q x x y 对于一阶线性微分方程： + = + = − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 其通解为 即 + = − − P x x P x x P x x y e Q x e x Ce ( )d ( )d ( )d ( ) d 不难验证： = − y e Q x e x P x x P x x * ( ) d ( )d ( )d 是方程的一个特解; ( ) 0 d d + P x y = x y 而 = − P x x Y Ce ( )d 是对应齐次方程 的通解
第六章微分方程 高等数学少学时 即一阶非齐次线性微分方程的通解由该方程的一个特解加对 应齐次方程的通解构成： 一阶非齐次线性微分方程通解的这个结构原理，同样适用于 高阶非齐次线性微分方程. 北京邮电大学出版社 10C
10 应齐次方程的通解构成. 即一阶非齐次线性微分方程的通解由该方程的一个特解加对 一阶非齐次线性微分方程通解的这个结构原理，同样适用于 高阶非齐次线性微分方程