第32卷第3期 内蒙古农业大学学报 Vol.32 No.3 2011年7月 Journal of Inner Mongolia Agricultural University Jul.2011 解析函数的等价刻画及其应用 宫小芳 (内蒙古体有职业学院，呼和浩特010050) 摘要：本文给出柯西、柯西-黎曼、外尔斯特拉斯、莫勒拉定义解析函数的等价性，并讨论了解析函数在证明代数 基本定理的应用。 关键词：解析函数：一致可微性：代数基本定理：柯西积分定理 中图分类号：0174.55 文献标识码：A文章编号：1009-3575(2011)03-0325-03 ANALYZE EQUIVALENCE PORTRAYING AND APPLICATION OF THE FUNCTION GONG Xiao-fang (Inner Mongolia Vocationd College of Physical Education,Hohhot 010050,China) Abstract:The article presents the equal value of Analytic Function defined by Cauchy,Cauchy-Riemann,Weierstrass and Molella. It also discusses the use of Analytic Function in proving the basic theorem of Algebra. Key words:Anayltic function:equivalent propsitions:uniform differentiable function 解析函数是复变函数论研究的主要对象，它是一类具有某种特性的可微函数。 1解析函数的等价刻画 众所周知，若复变函数f(z)在区域D内，满足下列4个条件之一，∫(z)就在区域D内 解析： L.1函数f(z)在D内处处可微 1.2函数f(z)=U(x,y)+i(x,y)在D内确定，U(x,y),V(x,y)在D内可微，且满足 C-R条件U.=P,U,=-' 1.3f(z)单连通区域D内连续，且对D内任一逐段光滑简单闭曲线C都有[f(z)=0 L.4对于Vz∈D都存在一个邻域，在此邻域内∫(z)能展成幂级数。 其中条件一，是由解析函数的创始人柯西(Cucy),条件二进一步说明复变函数与实变 函数本质上的区别：用条件三的观点来研究解析函数，由莫勒拉(Mor℃la)提出：条件四是 由外尔斯特拉斯(Weierstlase)提出，他从幂级数这个角度出发，展现了解析函数独特而和 谐的性质。 斧碧昌界：窖方).女达醉尔闲，讲师，主要从事数学教学与研究 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 32 卷 第 3 期 2011 年 7 月 内蒙古农业大学 学 报 Journal of Inner Mongolia Agricultural University Vol． 32 No． 3 Jul． 2011 解析函数的等价刻画及其应用* 宫小芳 ( 内蒙古体育职业学院，呼和浩特 010050) 摘要: 本文给出柯西、柯西 － 黎曼、外尔斯特拉斯、莫勒拉定义解析函数的等价性，并讨论了解析函数在证明代数 基本定理的应用。 关键词: 解析函数; 一致可微性; 代数基本定理; 柯西积分定理 中图分类号: O 174． 55 文献标识码: A 文章编号:1009 － 3575( 2011) 03 － 0325 － 03 ANALYZE EQUIVALENCE PORTRAYING AND APPLICATION OF THE FUNCTION GONG Xiao － fang ( Inner Mongolia Vocationd College of Physical Education，Hohhot 010050，China) Abstract: The article presents the equal value of Analytic Function defined by Cauchy，Cauchy － Riemann，Weierstrass and Molella． It also discusses the use of Analytic Function in proving the basic theorem of Algebra． Key words: Anayltic function; equivalent propsitions; uniform differentiable function * 收稿日期: 2011 － 04 － 18 作者简介: 宫小芳( 1961 － ) ，女( 达斡尔族) ，讲师，主要从事数学教学与研究．
326 内蒙古农业大学学报 2011年 以上各条，都可作为函数(z)解析的定义，因此有必要证明它们相互等价。为此，先 证明以下引理： 引理1：f(z)在D上一致可微~对Hε>0,6>0，对zo,z1,z2∈D,只要 0<k-<0<k,-小<d,便有，)-fe.f,)-fe<e. 31-z0 z2-z0 证明：">"，f(z)在D内一致可微台对ε>0,36>0，对z,z。∈D,只要 0<-小<8则2-e号 2-20 (①) 对ε>0，取6。=6（如上)，任取20,21,22∈D，若 0<31-2<6,0<22-2<6 则 由 (1) 有 21-0 22-20 ""任取∈D,任取么，eD}且z,≠o,n→2,0m→o.记Fe)=e)-f2.由 Z-Zo 条件可知，对c>0,36>0.对，5∈D,只要0<-z<6,0<z-z<6,便有 F(2)-F(2)<8. (2) 由于lim -→02。=o心对以上6,3N,当m≥n>N时，有 0<2n-z<6,0<2m-2<6,由(2)→F(zm)-F(zn<6,由柯西准则可知： lim F(红n)存在，记为A。 1->00 对6>0，由条件存在仅与6有关的6。>0，.对z1,z2∈D,当 0<k-<60<:-小<便e)-Pe,)<号 (3) 由2n→2知3N1,当n>N1时，0<2n-2o<6,又F(zn)→A(n>o,.W2,当 >N:时.Fe)<号 (4) 因此.任取N>maxW,,便有0<华。-<8F(e,)-A<气同时成立. ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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第3期 宫小芳：解析函数的等价刻画及其应用 327 于是，由假设当0<水。-小<，时.F)-F,<号 (5) 由(o)可得：Fa-AsFe)-fwX+Fex)-4<5+号=8 2 即 对6>0,36>0(6仅与e有关)，对zo,2∈D,只要0<2-z。<6,便有 f)-f）-A<,故fe)在D上一致可微。 z-20 引理2：f(z)在有界闭区域D上可微，则f(z)在D上一致可微。 证明：若不然，则38。>0，对6。=上(（NmeN,Z,eD,2n≠≠，≠z, 使0<k-小品0<k-小水但 fe)-fe)_f)-f2,理) Zn-2n (1) zn∈D,而D有界，∴{zn}有收敛子列zm→z(n→o),:D闭，.Z。eD, 自时e,可股，6a0水-小)6 z-0 (2) (3) .N,当nk>N。时， 0<%-z<6,0<%-z<d 由 >/）f儿-fe<二-f4 (2) -0 (4) 2-0 由(3)知：2→2,2→2,2%→20，又f(2)在D上可微，.N,当n>N,时，有 f(n)-f()f(in)-f(Eo) 2i-2n 2m-20 f(n)-f(=)_f(e)-f() 2%-2 2m-20 4 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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328 内蒙古农业大学学报 2011年 由(4)，(5)：当n>max(No,N1)时，有 f(%)-f(e）f(2”)-f(2m)f(z)-f2m)f(2n,)-f(z) 2-2. 2-2n 24-20 (6) fn)-f儿e）-f's*4= 2m-20 4 由于()对1∈N都成立，因此()和(6)矛盾，所以f(z)在D上一致可微。 下面将按照(1)>(3)→(4)→()→(2)>(1)的顺序，证明解析函数四个定义的等价性。 (1)→(3)： 证明：设D为一单连通区域，C为D内任一简单闭曲线，，C为D内简单闭曲线，∴必 有界。因此，一定存在各边分别平行于坐标轴的矩形恰好包含C。由于(z)在D上可微， 由引理2可知，f(z)在以C为边界的闭区域上一致可微（记此闭区域为A)。 .对>0,6>0，对z,z。∈A,只要0<2-z<6便有 1fe)-f）-f)l<&: z-20 即f(z)=f(z)+(z-z)f'(z)+Q(z)其中Q(z≤(z-z) 设以上存在的矩形边长分别为α，b,用平行于坐标轴的二条直线将此矩形四等分，再 将所得的各小矩形用以上方法再四等分，如此进行到第步时，各小矩形的边长分别为 22·可见，对以上的6>0，当n>N,时，对V,属于同一个矩形时，都有 a b 3-<6 (0) 随着该矩形的分割，闭区域A也被分割且每一个小区域都含在某一个小矩形（对同一个n) 中，由（仙）知，当n充分大时，对2,22属于A的同一个区域都有31-22<6。 设在以上分割的第N。+1步，A被分割为C的内长方形C,C2,C3,CM及以C的一 部分做部分周界的不规则区域D,D2,DDx。 于是：Lek-之.ek+空，fak,其中每一个国道都延正向 任取长方形Cm且任取z,z。eCm,有： f(=)=f(z)+(z-z)f(z)+Q(z)Q(z)-z f(d:=fIf()+(-2)f+(=fQ()d 2%,b'=、b 由于在第N。+1次分制后各小矩形边长为：4= ,不妨设ds6,则： ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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第3期 宫小芳：解析函数的等价刻画及其应用 329 2-≤a2+bsV2b'及Cn周长为2@+b)≤4b,从而 .fe4s到.啡-出s5a*4h=4动 对于不规则的区域Dn,它的周长不大于4b'+S(5n为C的在D。上的部分长)，同上有： S(--SQ(ad-s Zbs"(46+s) fe)≤4W2e∑(62+b)+V2be∑s.=82e∑b'+V2b'as82h'e+2h'1s (其中1为C的周长) 由于b2,b7都是常数， 而[fe)边是常量， 所以由ε的任意性可得： 〔fed=0,fe)db=o, 于是f(z)满足条件(3)： (3)→(4)： 证明：设f(z)在区域D内满足条件（③），现任取z。∈D,则在z,的某邻域内f(z)可展成 幂级数，事实上： 以z为圆心，p为半径，在D内作圆C,设z为C内任一点。5为C上的变数，由 于f(z)满足柯西定理条件， 2g () 公 6- 1，，=1*0-2-)=（-” (5-X0--0)5-05-202g-)m (2) 5-20 2-<5-,从而， =二q"(0<q<1) (s-z0)"p 由M-判别法可知：级数(2)关于（一致收敛。 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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