n=0:11:X=fft(x,12): subplot(2.1.1).stem([0:111/12*2*pi abs(X)).hold on pi,angle(X),hold on x*exD(j*2*pi/1024n') subplot (2,1,1), plot([0:1023]/1024*2*pi,abs(XDT),'r'),hold on subplot (2.1.2). plot ([0:1023]/1024*2*pi,angle(XDT),'r'),hold on 从图中可以进行讨论 题3-18设Xk)=DFTx(n,Yk)=DFTy(o小，若Yk=Xk+mRk),证明 y(n)=IDFT[Y(k)]=Ww"x(n) 证：根据频域移位定理 Y(k)=DFT[y(n)]=DFT[W "x(n)]=X((k+m)s)Rx(k) 题3-20对采样周期为T0.5的以下各序列，(1)，用手工草画出它们的幅频谱和相频谱： (2),求出它们的DFT和频点位置：(3)，分析两个结果的关系。 (a),x=11,0,-11,(b},x=11,-2,11;(c),x=1-1,2,2,-11: 解：公用的程序为 x=input('x='):N=length(x); nx=input('nx=): x1=x(mod(nx-1.3)+1) X=(XIN) k=0:N. w-k*2*pi/N. subplot(2.I.1).stem(w.abs(X)) subplot(2,1,2).stem(w.angle(X)) 题3-24计算下列序列的N点循环卷积2()。 cos(n/4)Rx (m)N=8 x(n) os(2n/N)Ry (m).x(n) sin(2 n/N)RN(n):N=32 c.x(n)-(O.8yRx(m):xa(n-(-0.8)"Rx(n):N-20 d.xi(n=n Ry(m):x2(n(N-n)Rv(n):N=10 e.x(nF[1,-1,1,-1,x(nF[1,0-1,01N=4 解：a程序：x=l,ll,1],x2-cos(pi*[0:3]/4--circonv(xl,2,4) ys 1.0000 10000 1.0000 1.0000 b.程序：x1=cos(2*pi*[0:31y32x2=sin(2*pi*0:31]/32,y=eirconv(x1,x2,32) 解为：y=0.0000 3.1214 6.1229 8.889111.313713.3035.(略) c.程序：x1=(0.8).N0:19,x2=(-0.8).M0:19y=circonv(x1,x2,20) 解为：v=0.988500.632600.404900.259100.1658 00.106100.067900.043500.0278 00.01780 d.程序：x1=0:9x2=10-0:9y=-circonv(x1,x2,10) 解为：y=285250225210205210225250285330 e.程序：x1=l,-l,l,-l,x2=[1,0.-l,0y=circonv(x1,x2,4)
n=0:11;X=fft(x,12); subplot(2,1,1),stem([0:11]/12*2*pi,abs(X)),hold on subplot(2,1,2),stem([0:11]/12*2*pi,angle(X)),hold on k=0:1023;XDT= x*exp(j*2*pi/1024*n'*k); subplot(2,1,1), plot([0:1023]/1024*2*pi,abs(XDT),'r'),hold on subplot(2,1,2), plot([0:1023]/1024*2*pi,angle(XDT),'r'),hold on 从图中可以进行讨论。 题 3-18 设 X(k)=DFT[x(n)]，Y(k)=DFT[y(n)]，若 Y(k)=X((k+m)N)RN(k)，证明 y(n)=IDFT[Y(k)]=W x(n) mn N 证： 根据频域移位定理 Y(k)=DFT[y(n)]= DFT[W x(n) ]=X((k+m) mn N N) RN(k) 题 3-20 对采样周期为 T=0.5 的以下各序列，（1），用手工草画出它们的幅频谱和相频谱； （2），求出它们的 DFT 和频点位置；（3），分析两个结果的关系。 (a), x=[1,0,-1], (b), x=[1,-2,1]; (c), x=[-1,2,2,-1]; 解：公用的程序为： x=input('x= '); N=length(x); nx=input('nx= '); x1=x(mod(nx-1,3)+1); X=fft(x1,N); k=0:N-1;w=k*2*pi/N; subplot(2,1,1),stem(w,abs(X)) subplot(2,1,2),stem(w,angle(X)) 题 3-24 计算下列序列的 N 点循环卷积 z(n)。 a. x1(n)=[1,1,1,1], x2(n)=cos(πn/4) RN (n) ; N=8 b. x1(n)= cos(2πn/N) RN (n) , x2(n)=sin(2πn/N) RN (n) ; N=32 c. x1(n)=(0.8)n RN (n) ; x2(n)=(-0.8)n RN (n) ; N=20 d. x1(n)=n RN (n) ; x2(n)=(N-n) RN (n) ; N=10 e. x1(n)=[1,-1,1,-1], x2(n)=[1,0,-1,0]; N=4 解：a. 程序： x1=[1,1,1,1];x2=cos(pi*[0:3]/4);y=circonv(x1,x2,4) 解为：y = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 b. 程序： x1=cos(2*pi*[0:31]/32);x2=sin(2*pi*[0:31]/32);;y=circonv(x1,x2,32) 解为：y = 0.0000 3.1214 6.1229 8.8891 11.3137 13.3035 …（略） c. 程序： x1=(0.8).^[0:19];x2=(-0.8).^[0:19];y=circonv(x1,x2,20) 解为：y = 0.9885 0 0.6326 0 0.4049 0 0.2591 0 0.1658 0 0.1061 0 0.0679 0 0.0435 0 0.0278 0 0.0178 0 d. 程序： x1= [0:9];x2=10-[0:9];y=circonv(x1,x2,10) 解为：y = 285 250 225 210 205 210 225 250 285 330 e. 程序： x1=[1,-1,1,-1];x2=[1,0,-1,0];y=circonv(x1,x2,4)
解为：y=0000 题3-27设xm)=AcO2rmm1N)Rx(m),其中m为整数。注意x(m在N个样本中包含余弦的 m个周期，这是一个由窗口截取的无漫漏的余弦序列。 (a).证明它的DFT X(k)为实序列： X)=k-m刚+》6k-N+m啡0≤k5N-0<m<N (b).证明若m=0,则DFT X(k)由下式给出： Xk)=ANk10≤k≤N-I) (.解释当<0或>N时，如何修正上式 ().用下面的序列验证(a),(b),(c)中的结果，利用stem函数画出DFT序列的实部。 (i)x(n)=3cos(0.04n)Rac(n): (ii)x。(n)=5Ra(n)· (iii)xs(n)=[1+2cos(0.5n )+cos(n ]Rioo(n) X=cos(25W16)Rm: (v)x(n)=[4cos(0.1n)-3cos(1.9n)]Rv(m) 证：(a). ,Acos(2πmn/N)e2atW 因为： -8(k-m) e-+-登+m- 2 2 符到：X=5k-m刚+6k-N+m水0≤k≤N-) ).若=0，注意到6(k-0=6),得到Xk)=AN8(k) (C).用回l=od(皿，)代替Ⅲ。 题3-30设x=-1:0.5:2,h=3:6 (a.列出用向量一矩阵乘法求两者的线性卷积的表示式，写出构成其线性卷积矩阵的 MATI.AB语句 ()列出用向量一矩阵乘法求两者的循环卷积的表示式，写出构成其循环卷积矩阵的 MATLAB语句·
解为：y = 0 0 0 0 题 3-27 设 x(n) = Acos(2π mn / N)RN (n) ,其中 m 为整数。注意 x(n)在 N 个样本中包含余弦的 m 个周期，这是一个由窗口截取的无泄漏的余弦序列。 (a). 证明它的 DFT X(k)为实序列： k N m k N m N AN k m AN X k = − + ( − + ); 0 ≤ ≤ ( −1),0 < < 2 ( ) 2 ( ) δ δ (b). 证明若 m=0，则 DFT X(k)由下式给出： X (k) = ANδ (k); 0 ≤ k ≤ (N −1), (c). 解释当 m<0 或 m>N 时，如何修正上式。 (d). 用下面的序列验证(a),(b),(c)中的结果，利用 stem 函数画出 DFT 序列的实部。 (i) x1(n)=3cos(0.04πn)R200(n); (ii) x2(n)= 5R50(n); (iii) x3(n)=[1+2cos(0.5πn )+cos(πn )]R100(n); (iv) x4(n)= cos(25πn/16) R64 (n) ; (v) x4(n)=[4cos(0.1πn )-3cos(1.9πn )] RN (n) ; 证：(a). 1 1 2 / 2 / 0 0 ( ) ( ) cos(2 / ) N N j nk N j nk N n n X k x n e A mn N e π π π − − − − = = = = ∑ ∑ 1 2 / 2 / 2 / 0 ( ) 2 N j mn N j mn N j nk N n A e e e π π − − − = = + ∑ π 因为： 1 2 ( ) / 0 ( ) 2 2 N j k m n N n A AN e k π δ − − − = ∑ = − m ， 1 2 ( ) / 0 ( ) ( 2 2 2 N j k m n N n A AN AN e k m k π δ δ − − + = ∑ = + = + m − N) 得到： ( ) ( ) ( ); 0 ( 1) 2 2 AN AN X k = − δ δ k m + k − N + m ≤ k ≤ N − (b). 若 m=0,注意到δ(k-N)=δ(k)，得到 X(k)=ANδ(k) (c). 用 m1=mod(m,N)代替 m。 题 3-30 设 x=[-1:0.5:2],h=[3:6]; (a).列出用向量－矩阵乘法求两者的线性卷积的表示式，写出构成其线性卷积矩阵的 MATLAB 语句。 (b).列出用向量－矩阵乘法求两者的循环卷积的表示式，写出构成其循环卷积矩阵的 MATLAB 语句
「345600000001 03456000000 00345600000 解：(a)y=1,-0.5,0,0.5,1,1.5,200034560000 00003456000 00000345600 00000034560 MATLAB语句为： X=-1,-0.5,0,10.5,l,1.5,2h-3:6,H=toeplitz([h1),zeros(1,6l.h,2eros(1,6jy-x*H y=-3.0-5.5-7.023.042.061.080.021.519.012.0 「6000345] 5600034 4560003 (a)ycN=7=-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2]3456000 0345600 0034560 0003456 MATLAB语句为： x=-1.-0.5.0.10.5.1.152l:h=3:6 He=toeplitz([fliplr(h).zeros(1,3)].[h(end).zeros(1,3).h(1:end-1)).yc=x*He ye= 23.0000 42.0000 61.0000 80.0000 18.5000 13.5000 5.0000 题4-3.考虑两个序列，(a)x0)=1,x1)=-2,2)=1:(b)0-1,1F2,2F2,x3-1, 如果采样周期T=0.5,试用一个四点DT来计算这两个序列的频谱的四个频率样本。 00+2.0000i4.0000 0-2.0000i (b.xb=1,2,2-1]Xb=fmb,4) Xb=2.0000-3.0000-3.0000i0-3.0000+3.0000i 题4-6.解析地计算xa)=e02,1≥0的频谱X。(2)。又设T=0.5,计算xm=e-02mT,n≥0 的频谱X(@),把两者进行比较，讨论是否存在若因采样引起的颜率泄漏。若改为T=0.05,其结 果如何？ 解XU-eeh=eaeh=e厂 -(0.2+j2,0.2+2 X0o-=2eg=(ay空em1-eg 1 用MATLAB画出两者的幅特性，注意数字频谱必须乘以T,才能与模拟频谱等价比较，因此 最后一句绘图语句中要乘T。程序如下，它适合于T取任何值的情况。 0mega=0:0,1:20;Xa=1./(0.2+j*0mega):
解：(a) 3 4 5 60000000 03456 0 0 0000 0 03456 0 0000 y=[-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2] 0 0 03456 0000 0 0 0 0345 6000 0 0 0 0 03456 0 0 0 0 0 0 0 03456 0 MATLAB 语句为： x=[-1,-0.5,0,10.5,1,1.5,2]; h=[3:6];H=toeplitz([h(1),zeros(1,6)],[h,zeros(1,6)]);y=x*H y = -3.0 -5.5 -7.0 23.0 42.0 61.0 80.0 21.5 19.0 12.0 (a) 6 0 0 0345 5 6 0 0 034 456 0 0 0 3 yc(N=7)=[-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2] 3 4 5 6 0 0 0 03456 0 0 0 03456 0 0 0 03456 MATLAB 语句为： x=[-1,-0.5,0,10.5,1,1.5,2]; h=[3:6]; Hc = toeplitz([fliplr(h),zeros(1,3)],[h(end),zeros(1,3),h(1:end-1)]); yc=x*Hc yc = 23.0000 42.0000 61.0000 80.0000 18.5000 13.5000 5.0000 题 4-3. 考虑两个序列，（a）x(0)＝1，x(1)＝-2，x(2)＝1；（b）x(0)=-1，x(1)=2，x(2)=2，x(3)=-1， 如果采样周期 T＝0.5，试用一个四点 DFT 来计算这两个序列的频谱的四个频率样本。 (a). xa=[1,-2,1]; Xa=fft(xa,4) Xa = 0 0 + 2.0000i 4.0000 0 - 2.0000i (b). xb=[-1,2,2,-1];Xb=fft(xb,4) Xb = 2.0000 -3.0000 - 3.0000i 0 -3.0000 + 3.0000i 题 4-6. 解析地计算 xa (t) = e−0.2t ,t ≥ 0 的频谱 (Ω) X a 。又设 T=0.5,计算 的频谱 ( ) , 0 0.2 = ≥ − x n e n nT X (ω) ，把两者进行比较，讨论是否存在着因采样引起的频率泄漏。若改为 T=0.05,其结 果如何？ 解： (0.2 ) 0.2 (0.2 ) 0 0 0 1 ( ) (0.2 ) 0.2 j t t j t j t a e X j e e dt e dt j j ∞ − + Ω ∞ ∞ − − Ω − + Ω Ω = = = = − + Ω + Ω ∫ ∫ ( ) 0.2 0.5 0.2 0.5 0.1 0 0 1 ( ) 1 n n j n j n j n n X j e e e e e e ω ω ω ω ∞ ∞ − ⋅ − − ⋅ − − − = = = = = − ∑ ∑ 用 MATLAB 画出两者的幅特性，注意数字频谱必须乘以 T，才能与模拟频谱等价比较，因此 最后一句绘图语句中要乘 T。程序如下,它适合于 T 取任何值的情况。 Omega=0:0.1:20;Xa=1./(0.2+j*Omega);