线性代数实践（第四讲） 第9章 线性变换及其特征
线性代数实践（第四讲） 第9章 线性变换及其特征
9.1平面上线性变换的几何意义 。 例9.1设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其 四个顶点的数据可写成 x- 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 yi=Ai*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x及yi图形： X=[0,1,1,0;0,0,1,1] subplot(2,3,1),fil(x(1,),0],x(2,),0],'r) A1=[-1,0;0,1],y1=A1*X subplot(2,3,2),fill(y1(1,),0],y1(2,),0],'g)
9.1 平面上线性变换的几何意义 • 例9.1 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其 四个顶点的数据可写成 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 yi=Ai*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x及yi图形： x=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') A1=[−1,0;0,1], y1=A1*x subplot(2,3,2), fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g') … 0 1 1 0 0 0 1 1 x =
(a)x=[0,1,1,0:0,0,1,1 (b)A1=[-1,0:0,1] (c)A2=[1.5,0;0,1 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 (dA3=[1,0:0,0.5 (e)A4=[1,0.5;0,1](0A5=[cost),sint:-sint),cc 2 0 0 0 0
图 9.1 对单元方格进行几种线性变换后生成的图形
几种变换的行列式与特征值 1=d0=-1N=-1小1-[09] m-a-15.2-015Lp2-[9 3=dw4-02,8-0210-[日 D4=det(A4)=1,24=[11 D5=L25=-[086+05i0866-0.5i],p5=[ .7071 0.7071 0-0.7071i0+0.7071i
几种变换的行列式与特征值 1 0 1 det( 1) 1, 1 1 1 , 1 0 1 0 1 2 det( 2) 1.5, 2 1.0 1.5 , 2 1 0 0 1 3 det( 3) 0.2, 3 0.2 1.0 , 3 1 0 1.0 1.0 4 det( 4) 1, 4 1 1 , 4 0. D A p D A p D A p D A p = = − = − = = = = = = = = = − = = = = 0. 0.7071 0.7071 5 1, 5 0.866 + 0.5i 0.866 0.5i , 5 0 0.7071i 0 + 0.7071i D p = = − = −
看出的基本关系 可以看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵 A2使原图在横轴方向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴 方向压缩，矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵 A5使原图沿反时针方向旋转t=pi/6。分别计算出 这五个矩阵的行列式和特征值， 。 对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上 是两个向量所构成的平行四边形的面积。一个变 换所造成的图形的面积变化，取决于该变换的行 列式。A1,A4和A5的行列式绝对值都是1，所以 它们不会使变换后图形的面积发生改变。而A2和 A3的行列式分别为1.5和0.2
看出的基本关系 • 可以看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵 A2使原图在横轴方向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴 方向压缩，矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵 A5使原图沿反时针方向旋转t=pi/6。分别计算出 这五个矩阵的行列式和特征值， • 对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上 是两个向量所构成的平行四边形的面积。一个变 换所造成的图形的面积变化，取决于该变换的行 列式。A1，A4和A5的行列式绝对值都是1，所以 它们不会使变换后图形的面积发生改变。而A2和 A3的行列式分别为1.5和0.2